Номер 387, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

387. Дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 357). Укажите вектор с концами в вершинах призмы, который равен вектору $\vec{x}$, если:

а) $\vec{AA_1} - \vec{x} + \vec{B_1C} = \vec{BA}$

б) $\vec{BC_1} + \vec{x} + \vec{AB_1} = \vec{BA}$

в) $\vec{BC_1} + \vec{x} = \vec{AB_1} = \vec{BA} - \vec{x} + \vec{CA_1}$

Рис. 357

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов в призме. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ выполняются следующие векторные равенства:

• Боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.
• Основания являются равными треугольниками, поэтому $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$, $\vec{CA} = \vec{C_1A_1}$.
• Также используются правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$ и правило вычитания векторов $\vec{PQ} - \vec{PR} = \vec{RQ}$.

Решим каждое уравнение относительно вектора $\vec{x}$.

а) $\vec{AA_1} - \vec{x} + \vec{B_1C} = \vec{BA}$

Выразим вектор $\vec{x}$ из уравнения:
$\vec{x} = \vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{BA}$
$\vec{x} = \vec{AA_1} + \vec{B_1C} + \vec{AB}$

Для упрощения выражения разложим вектор $\vec{B_1C}$ по правилу треугольника:
$\vec{B_1C} = \vec{B_1B} + \vec{BC}$

Подставим это в выражение для $\vec{x}$:
$\vec{x} = \vec{AA_1} + (\vec{B_1B} + \vec{BC}) + \vec{AB}$

Так как в призме $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1}$ и $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$, то $\vec{B_1B} = -\vec{AA_1}$.
$\vec{x} = \vec{AA_1} - \vec{AA_1} + \vec{BC} + \vec{AB}$
$\vec{x} = \vec{AB} + \vec{BC}$

По правилу треугольника (правилу Шаля):
$\vec{x} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{x} = \vec{AC}$

б) $\vec{BC_1} + \vec{x} + \vec{AB_1} = \vec{BA}$

Выразим вектор $\vec{x}$ из уравнения:
$\vec{x} = \vec{BA} - \vec{BC_1} - \vec{AB_1}$

Преобразуем разность векторов $\vec{BA} - \vec{BC_1}$ по правилу вычитания:
$\vec{BA} - \vec{BC_1} = \vec{C_1A}$

Теперь выражение для $\vec{x}$ имеет вид:
$\vec{x} = \vec{C_1A} - \vec{AB_1}$

Разложим векторы, чтобы привести их к общему началу или использовать правило сложения:
$\vec{C_1A} = \vec{C_1B_1} + \vec{B_1A}$
$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Подставляя $\vec{C_1A} = \vec{C_1C} + \vec{CA}$ и $\vec{AB_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1B_1}$, получим:
$\vec{x} = (\vec{C_1C} + \vec{CA}) - (\vec{AA_1} + \vec{A_1B_1})$
Учитывая, что $\vec{C_1C} = -\vec{AA_1}$ и $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$:
$\vec{x} = -\vec{AA_1} + \vec{CA} - \vec{AA_1} - \vec{AB} = \vec{CA} - \vec{AB} - 2\vec{AA_1}$
$\vec{x} = \vec{CA} + \vec{BA} - 2\vec{AA_1}$
Сумма $\vec{CA} + \vec{BA}$ равна вектору $\vec{CB} + \vec{BA} + \vec{BA} = \vec{CB} + 2\vec{BA}$. Выражение не упрощается до вектора между вершинами. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если предположить, что в условии вместо `+` должен быть `-` перед $\vec{AB_1}$, т.е. $\vec{BC_1} + \vec{x} - \vec{AB_1} = \vec{BA}$, то решение будет следующим:
$\vec{x} = \vec{BA} - \vec{BC_1} + \vec{AB_1} = \vec{C_1A} + \vec{AB_1}$
По правилу Шаля: $\vec{C_1A} + \vec{AB_1} = \vec{C_1B_1}$.
Так как $\vec{C_1B_1} = \vec{CB}$, то $\vec{x} = \vec{CB}$.

Ответ: При условии, что в уравнении опечатка ($\vec{AB_1}$ со знаком минус), $\vec{x} = \vec{CB}$.

в) $\vec{BC_1} + \vec{x} = \vec{AB_1} = \vec{BA} - \vec{x} + \vec{CA_1}$

Данное выражение представляет собой систему из двух уравнений:
1) $\vec{BC_1} + \vec{x} = \vec{AB_1}$
2) $\vec{AB_1} = \vec{BA} - \vec{x} + \vec{CA_1}$

Подставим выражение для $\vec{AB_1}$ из первого уравнения во второе:
$\vec{BC_1} + \vec{x} = \vec{BA} - \vec{x} + \vec{CA_1}$

Соберем члены с $\vec{x}$ в левой части уравнения:
$2\vec{x} = \vec{BA} - \vec{BC_1} + \vec{CA_1}$

Преобразуем разность $\vec{BA} - \vec{BC_1} = \vec{C_1A}$.
$2\vec{x} = \vec{C_1A} + \vec{CA_1}$

Разложим векторы, приведя их к общему началу C:
$\vec{C_1A} = \vec{C_1C} + \vec{CA}$
$\vec{CA_1}$ оставим без изменений.
$2\vec{x} = (\vec{C_1C} + \vec{CA}) + \vec{CA_1}$
Разложим $\vec{CA_1} = \vec{CA} + \vec{AA_1}$.
$2\vec{x} = \vec{C_1C} + \vec{CA} + \vec{CA} + \vec{AA_1}$
Так как $\vec{C_1C} = -\vec{AA_1}$, они взаимно уничтожаются:
$2\vec{x} = 2\vec{CA}$
$\vec{x} = \vec{CA}$

Проверим, удовлетворяет ли это решение исходной системе. Подставим $\vec{x} = \vec{CA}$ в первое уравнение:
$\vec{BC_1} + \vec{CA} = \vec{AB_1}$
$(\vec{BC} + \vec{CC_1}) + \vec{CA} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$
$(\vec{BC} + \vec{CA}) + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$
$\vec{BA} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$
Так как $\vec{CC_1}=\vec{BB_1}$, получаем $\vec{BA} = \vec{AB}$, что возможно только если $A=B$, а это противоречит определению призмы. Следовательно, условие задачи в этом пункте содержит ошибку. Однако, если следовать формальным преобразованиям, получается указанный ответ.

Ответ: $\vec{x} = \vec{CA}$