Номер 391, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

391. Точки $M$, $N$, $P$, $Q$ — середины рёбер при основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$. Докажите, что

$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = \vec{SM} + \vec{SN} + \vec{SP} + \vec{SQ}.$

В данной задаче нам дана четырёхугольная пирамида $SABCD$ и точки $M, N, P, Q$, которые являются серединами рёбер основания $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Необходимо доказать векторное равенство:

$\overline{SA} + \overline{SB} + \overline{SC} + \overline{SD} = \overline{SM} + \overline{SN} + \overline{SP} + \overline{SQ}$

Для доказательства воспользуемся правилом нахождения вектора к середине отрезка. Вектор, проведенный из какой-либо точки (в нашем случае из вершины $S$) в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведенных из этой же точки к концам отрезка.

Применим это правило для каждой из точек $M, N, P, Q$:

1. Точка $M$ — середина ребра $AB$. Следовательно, вектор $\overline{SM}$ можно выразить через векторы $\overline{SA}$ и $\overline{SB}$:
$\overline{SM} = \frac{1}{2}(\overline{SA} + \overline{SB})$

2. Точка $N$ — середина ребра $BC$. Аналогично:
$\overline{SN} = \frac{1}{2}(\overline{SB} + \overline{SC})$

3. Точка $P$ — середина ребра $CD$:
$\overline{SP} = \frac{1}{2}(\overline{SC} + \overline{SD})$

4. Точка $Q$ — середина ребра $DA$:
$\overline{SQ} = \frac{1}{2}(\overline{SD} + \overline{SA})$

Теперь сложим векторы в правой части доказываемого равенства, подставив полученные выражения:

$\overline{SM} + \overline{SN} + \overline{SP} + \overline{SQ} = \frac{1}{2}(\overline{SA} + \overline{SB}) + \frac{1}{2}(\overline{SB} + \overline{SC}) + \frac{1}{2}(\overline{SC} + \overline{SD}) + \frac{1}{2}(\overline{SD} + \overline{SA})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем векторы:

$\overline{SM} + \overline{SN} + \overline{SP} + \overline{SQ} = \frac{1}{2}(\overline{SA} + \overline{SB} + \overline{SB} + \overline{SC} + \overline{SC} + \overline{SD} + \overline{SD} + \overline{SA})$

Приведем подобные слагаемые (векторы) внутри скобок:

$\overline{SM} + \overline{SN} + \overline{SP} + \overline{SQ} = \frac{1}{2}(2\overline{SA} + 2\overline{SB} + 2\overline{SC} + 2\overline{SD})$

Вынесем множитель 2 из скобок и сократим его с $\frac{1}{2}$:

$\overline{SM} + \overline{SN} + \overline{SP} + \overline{SQ} = \frac{1}{2} \cdot 2(\overline{SA} + \overline{SB} + \overline{SC} + \overline{SD})$

$\overline{SM} + \overline{SN} + \overline{SP} + \overline{SQ} = \overline{SA} + \overline{SB} + \overline{SC} + \overline{SD}$

Таким образом, мы доказали, что правая часть равенства тождественно равна левой части.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\overline{SA} + \overline{SB} + \overline{SC} + \overline{SD} = \overline{SM} + \overline{SN} + \overline{SP} + \overline{SQ}$ доказано.