Номер 393, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

393. Начертите два направленных отрезка $ \vec{AB} $ и $ \vec{CD} $. Постройте вектор:

а) $ -2\vec{AB} $;

б) $ \frac{1}{2}\vec{CD} $;

в) $ \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{CD} $;

г) $ \frac{3}{4}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{CD} $;

д) $ \frac{4}{3}\vec{AB} - \frac{1}{3}k\vec{CD} $.

Для решения задачи сначала начертим два произвольных неколлинеарных и ненулевых вектора (направленных отрезка) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Построение результирующих векторов будем выполнять от произвольной точки O.

а) Чтобы построить вектор $-2\vec{AB}$, нужно выполнить следующие действия:

1. Построить вектор, коллинеарный вектору $\vec{AB}$.
2. Так как коэффициент равен $-2$, то результирующий вектор будет направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{AB}$.
3. Длина результирующего вектора будет в 2 раза больше длины вектора $\vec{AB}$.

Построение: от произвольной точки O откладываем вектор $\vec{OM}$, который параллелен вектору $\vec{AB}$, его длина $|\vec{OM}| = 2|\vec{AB}|$, а направление противоположно направлению $\vec{AB}$. Вектор $\vec{OM}$ и есть искомый вектор.

Ответ: Построен вектор, который противонаправлен вектору $\vec{AB}$ и имеет вдвое большую длину.

б) Чтобы построить вектор $\frac{1}{2}\vec{CD}$, нужно:

1. Построить вектор, коллинеарный вектору $\vec{CD}$.
2. Так как коэффициент $\frac{1}{2}$ положительный, направление результирующего вектора совпадает с направлением вектора $\vec{CD}$.
3. Длина результирующего вектора равна половине длины вектора $\vec{CD}$.

Построение: от произвольной точки O откладываем вектор $\vec{ON}$, который параллелен и сонаправлен вектору $\vec{CD}$, а его длина равна $|\vec{ON}| = \frac{1}{2}|\vec{CD}|$. Это можно сделать, найдя середину отрезка CD. Вектор $\vec{ON}$ — искомый.

Ответ: Построен вектор, который сонаправлен вектору $\vec{CD}$ и имеет вдвое меньшую длину.

в) Чтобы построить вектор $\frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{CD}$, нужно сложить два вектора по правилу треугольника (или параллелограмма): $\vec{v}_1 = \frac{1}{4}\vec{AB}$ и $\vec{v}_2 = \frac{3}{4}\vec{CD}$.

1. Строим вектор $\vec{v}_1 = \frac{1}{4}\vec{AB}$. Он сонаправлен с $\vec{AB}$, и его длина равна $\frac{1}{4}|\vec{AB}|$.
2. Строим вектор $\vec{v}_2 = \frac{3}{4}\vec{CD}$. Он сонаправлен с $\vec{CD}$, и его длина равна $\frac{3}{4}|\vec{CD}|$.

Построение: от точки O откладываем вектор $\vec{OP} = \vec{v}_1$. Затем от точки P откладываем вектор $\vec{PQ} = \vec{v}_2$. Результирующий вектор $\vec{OQ}$ соединяет начало первого вектора с концом второго. $\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{PQ}$.

Ответ: Построен вектор $\vec{OQ}$, являющийся суммой векторов $\frac{1}{4}\vec{AB}$ и $\frac{3}{4}\vec{CD}$.

г) Построение вектора $\frac{3}{4}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{CD}$ аналогично предыдущему пункту. Складываем векторы $\vec{u}_1 = \frac{3}{4}\vec{AB}$ и $\vec{u}_2 = \frac{1}{4}\vec{CD}$.

1. Строим вектор $\vec{u}_1 = \frac{3}{4}\vec{AB}$. Он сонаправлен с $\vec{AB}$, и его длина равна $\frac{3}{4}|\vec{AB}|$.
2. Строим вектор $\vec{u}_2 = \frac{1}{4}\vec{CD}$. Он сонаправлен с $\vec{CD}$, и его длина равна $\frac{1}{4}|\vec{CD}|$.

Построение: от точки O откладываем вектор $\vec{OR} = \vec{u}_1$. От точки R откладываем вектор $\vec{RS} = \vec{u}_2$. Искомый вектор — $\vec{OS} = \vec{OR} + \vec{RS}$.

Ответ: Построен вектор $\vec{OS}$, являющийся суммой векторов $\frac{3}{4}\vec{AB}$ и $\frac{1}{4}\vec{CD}$.

д) Чтобы построить вектор $\frac{4}{3}\vec{AB} - \frac{1}{3}\vec{CD}$, представим его в виде суммы $\frac{4}{3}\vec{AB} + (-\frac{1}{3}\vec{CD})$. Складываем векторы $\vec{w}_1 = \frac{4}{3}\vec{AB}$ и $\vec{w}_2 = -\frac{1}{3}\vec{CD}$.

1. Строим вектор $\vec{w}_1 = \frac{4}{3}\vec{AB}$. Он сонаправлен с $\vec{AB}$, а его длина $|\vec{w}_1| = \frac{4}{3}|\vec{AB}|$ (длина $\vec{AB}$ плюс еще одна треть этой длины).
2. Строим вектор $\vec{w}_2 = -\frac{1}{3}\vec{CD}$. Он противонаправлен вектору $\vec{CD}$, а его длина $|\vec{w}_2| = \frac{1}{3}|\vec{CD}|$.

Построение: от точки O откладываем вектор $\vec{OT} = \vec{w}_1$. От точки T откладываем вектор $\vec{TU} = \vec{w}_2$. Искомый вектор — $\vec{OU} = \vec{OT} + \vec{TU}$.

Ответ: Построен вектор $\vec{OU}$, являющийся результатом вычитания из вектора $\frac{4}{3}\vec{AB}$ вектора $\frac{1}{3}\vec{CD}$.