Номер 390, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

390. Основанием пирамиды $SABCD$ является трапеция, точка $O$ — середина её средней линии. Докажите, что $\overline{SA}+\overline{SB}+\overline{SC}+\overline{SD}=4\cdot\overline{SO}$.

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Представим каждый из векторов в левой части равенства в виде суммы с использованием точки O:

$\vec{SA} = \vec{SO} + \vec{OA}$
$\vec{SB} = \vec{SO} + \vec{OB}$
$\vec{SC} = \vec{SO} + \vec{OC}$
$\vec{SD} = \vec{SO} + \vec{OD}$

Сложим эти четыре векторных равенства:

$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = (\vec{SO} + \vec{OA}) + (\vec{SO} + \vec{OB}) + (\vec{SO} + \vec{OC}) + (\vec{SO} + \vec{OD})$

После группировки слагаемых получаем:

$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4\vec{SO} + (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$

Теперь необходимо доказать, что сумма векторов в скобках равна нулевому вектору: $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}$. Для этого используем определение точки $O$ из условия задачи.

Пусть $ABCD$ — трапеция, являющаяся основанием пирамиды. Пусть её боковыми (непараллельными) сторонами являются $AB$ и $CD$. Средняя линия трапеции соединяет середины этих сторон. Обозначим $M$ — середину $AB$, и $N$ — середину $CD$. Тогда $MN$ — средняя линия трапеции.

По условию задачи, точка $O$ является серединой средней линии $MN$.

Для удобства вычислений примем точку $O$ за начало системы координат. Тогда радиус-вектор любой точки $X$ будет совпадать с вектором $\vec{OX}$, а радиус-вектор самой точки $O$ будет нулевым вектором: $\vec{OO} = \vec{0}$.

Вектор, проведенный из начала координат $O$ в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведенных в концы этого отрезка.

Для точки $M$, середины $AB$:

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

Для точки $N$, середины $CD$:

$\vec{ON} = \frac{\vec{OC} + \vec{OD}}{2}$

Точка $O$ является серединой отрезка $MN$, поэтому для нее справедливо:

$\vec{OO} = \frac{\vec{OM} + \vec{ON}}{2}$

Подставим выражения для $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$:

$\vec{0} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} + \frac{\vec{OC} + \vec{OD}}{2} \right)$

Упростим выражение:

$\vec{0} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}}{4}$

Отсюда следует, что $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}$.

Теперь подставим этот результат в наше первоначальное выражение:

$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4\vec{SO} + \vec{0} = 4\vec{SO}$

Таким образом, искомое равенство доказано. Стоит отметить, что результат не зависит от того, какие именно стороны трапеции являются боковыми, так как итоговая формула для положения точки O симметрична относительно всех четырех вершин.

Ответ: Равенство $\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4 \cdot \vec{SO}$ доказано.