Номер 392, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

392. В пространстве выбраны точки A, B, C, D, точки M и N — середины отрезков AB и CD. Докажите, что $ \vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD} = 2 \cdot \vec{MN} $.

Для доказательства данного векторного тождества разобьем его на две части и докажем каждую по отдельности, используя правило сложения векторов (правило Шаля).

Докажем, что $\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$

Для доказательства этого равенства преобразуем его левую часть. Воспользуемся правилом Шаля, представив векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ в виде суммы векторов:

$\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}$

$\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$

Теперь сложим эти два векторных равенства:

$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AD} + \vec{DC}) + (\vec{BC} + \vec{CD})$

Сгруппируем слагаемые в правой части:

$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AD} + \vec{BC}) + (\vec{DC} + \vec{CD})$

Векторы $\vec{DC}$ и $\vec{CD}$ являются противоположными, так как они имеют одинаковую длину и противоположные направления. Их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{DC} + \vec{CD} = \vec{0}$

Подставив это в наше выражение, получаем:

$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC} + \vec{0}$

Переставив слагаемые, приходим к искомому равенству:

$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$

Таким образом, первая часть тождества доказана.

Ответ: Равенство $\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$ доказано.

Докажем, что $\vec{AC} + \vec{BD} = 2 \cdot \vec{MN}$

Выразим вектор $\vec{MN}$ двумя разными способами, используя правило многоугольника для сложения векторов:

1. Через точки A и C: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CN}$

2. Через точки B и D: $\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BD} + \vec{DN}$

Сложим эти два равенства:

$\vec{MN} + \vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CN}) + (\vec{MB} + \vec{BD} + \vec{DN})$

$2\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CN} + \vec{MB} + \vec{BD} + \vec{DN}$

Сгруппируем слагаемые в правой части следующим образом:

$2\vec{MN} = (\vec{AC} + \vec{BD}) + (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{CN} + \vec{DN})$

Теперь рассмотрим суммы векторов в скобках:

• Поскольку точка M является серединой отрезка AB, векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору: $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$.
• Аналогично, поскольку точка N является серединой отрезка CD, для векторов, исходящих из концов отрезка в середину, выполняется равенство $\vec{CN} + \vec{DN} = \vec{0}$. Это можно показать так: по определению середины отрезка $\vec{NC} + \vec{ND} = \vec{0}$. Так как $\vec{CN} = -\vec{NC}$ и $\vec{DN} = -\vec{ND}$, то $\vec{CN} + \vec{DN} = -(\vec{NC} + \vec{ND}) = -\vec{0} = \vec{0}$.

Подставим полученные нулевые векторы в наше выражение для $2\vec{MN}$:

$2\vec{MN} = (\vec{AC} + \vec{BD}) + \vec{0} + \vec{0}$

$2\vec{MN} = \vec{AC} + \vec{BD}$

Таким образом, вторая часть тождества также доказана.

Ответ: Равенство $\vec{AC} + \vec{BD} = 2 \cdot \vec{MN}$ доказано.

Из доказанных равенств $\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$ и $\vec{AC} + \vec{BD} = 2 \cdot \vec{MN}$ следует итоговое тождество:

$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD} = 2 \cdot \vec{MN}$

Что и требовалось доказать.