Номер 17, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.17. При каких значениях параметра $b$ система уравнений$$ \begin{cases} 3x + y = a, \\ ax - y = b \end{cases} $$имеет хотя бы одно решение при любых значениях параметра $a$?

Дана система линейных уравнений с параметрами $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} 3x + y = a, \\ ax - y = b \end{cases} $$

Требуется найти значения параметра $b$, при которых система имеет хотя бы одно решение для любого значения параметра $a$.

Данная система является системой двух линейных уравнений относительно переменных $x$ и $y$. Такая система имеет единственное решение, когда определитель ее основной матрицы отличен от нуля. В противном случае система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.

Вычислим определитель основной матрицы коэффициентов системы:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ a & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) - 1 \cdot a = -3 - a $$

Рассмотрим два возможных случая.

1. Определитель не равен нулю: $\Delta \neq 0$.

Это условие выполняется, когда $-3 - a \neq 0$, то есть $a \neq -3$. В этом случае система имеет единственное решение для любых значений параметров $a$ и $b$.

2. Определитель равен нулю: $\Delta = 0$.

Это условие выполняется, когда $-3 - a = 0$, то есть $a = -3$. В этом случае система может не иметь решений. По условию задачи, система должна иметь решение при любом значении $a$, следовательно, она должна иметь решение и при $a = -3$.

Подставим $a = -3$ в исходную систему:

$$ \begin{cases} 3x + y = -3, \\ -3x - y = b \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$$ (3x + y) + (-3x - y) = -3 + b $$

$$ 0 = -3 + b $$

Отсюда следует, что $b = 3$.

Это означает, что при $a = -3$ система имеет решения (бесконечно много решений, так как уравнения становятся зависимыми: второе является первым, умноженным на -1) только в том случае, если $b = 3$. Если же при $a = -3$ параметр $b \neq 3$, то мы получаем неверное равенство $0 = b - 3 \neq 0$, и система не имеет решений.

Чтобы условие задачи ("система имеет хотя бы одно решение при любых значениях параметра $a$") выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы система имела решение в "критическом" случае $a = -3$. А это, как мы показали, требует, чтобы $b=3$.

Таким образом, единственное значение параметра $b$, которое обеспечивает наличие решения системы при любом значении $a$, это $b=3$.

Ответ: 3