Номер 23, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.23. При каких значениях параметра $a$ уравнение $3x^2 + (a-1)x + 1 - a^2 = 0$ имеет единственный корень, равный нулю?

Для того чтобы уравнение $3x^2 + (a-1)x + 1 - a^2 = 0$ имело единственный корень, равный нулю, необходимо выполнение двух условий. Рассмотрим их последовательно.

1. Условие, при котором $x=0$ является корнем уравнения.

Если $x = 0$ является корнем, то при подстановке этого значения в уравнение мы должны получить верное числовое равенство. Подставим $x=0$ в исходное уравнение:

$3(0)^2 + (a-1) \cdot 0 + 1 - a^2 = 0$

$0 + 0 + 1 - a^2 = 0$

$1 - a^2 = 0$

Это уравнение является разностью квадратов $(1-a)(1+a)=0$, и его решениями являются:

$a = 1$ или $a = -1$.

Таким образом, только при этих двух значениях параметра $a$ данное уравнение вообще может иметь корень, равный нулю.

2. Условие, при котором корень $x=0$ является единственным.

Теперь необходимо проверить каждое из найденных значений $a$, чтобы определить, в каком случае корень будет единственным.

Случай 1: $a = 1$

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$3x^2 + (1-1)x + 1 - 1^2 = 0$

$3x^2 + 0 \cdot x + 0 = 0$

$3x^2 = 0$

Решением этого уравнения является $x=0$. Этот корень является единственным (или, что то же самое, корнем кратности 2). Следовательно, значение $a=1$ удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: $a = -1$

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$3x^2 + (-1-1)x + 1 - (-1)^2 = 0$

$3x^2 - 2x + 1 - 1 = 0$

$3x^2 - 2x = 0$

Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x - 2) = 0$

Это уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = 0$

$3x - 2 = 0 \implies x_2 = \frac{2}{3}$

Поскольку в этом случае уравнение имеет два корня, а не один, значение $a=-1$ не удовлетворяет условию задачи.

Вывод.

Сравнив результаты для двух возможных значений $a$, мы заключаем, что только при $a=1$ уравнение имеет единственный корень, равный нулю.

Ответ: $1$