Номер 39, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.39. При каких значениях параметра $a$ неравенство $(x - 2a - 1)(x - a) < 0$ выполняется при всех $x \in [1; 2]$?

Данное неравенство $(x - 2a - 1)(x - a) < 0$ является квадратичным относительно переменной $x$. Графиком функции $f(x) = (x - 2a - 1)(x - a)$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный).

Неравенство $f(x) < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся строго между корнями уравнения $f(x) = 0$. Корнями являются $x_1 = a$ и $x_2 = 2a + 1$.

Для того чтобы определить, какой из корней больше, сравним их. Найдем разность $x_2 - x_1$: $$(2a + 1) - a = a + 1$$

Далее необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения $a+1$.

Случай 1: $a + 1 > 0$, то есть $a > -1$.

В этом случае $2a + 1 > a$, и решением неравенства является интервал $(a; 2a + 1)$. По условию задачи, неравенство должно выполняться для всех $x$ из отрезка $[1; 2]$. Это означает, что отрезок $[1; 2]$ должен целиком содержаться внутри интервала решений $(a; 2a + 1)$. $$ [1; 2] \subset (a; 2a + 1) $$ Это условие равносильно системе двух неравенств: $$ \begin{cases} a < 1 \\ 2a + 1 > 2 \end{cases} $$ Решим эту систему: $$ \begin{cases} a < 1 \\ 2a > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} a < 1 \\ a > \frac{1}{2} \end{cases} $$ Следовательно, $a \in (\frac{1}{2}; 1)$. Эти значения удовлетворяют исходному условию $a > -1$.

Случай 2: $a + 1 < 0$, то есть $a < -1$.

В этом случае $2a + 1 < a$, и решением неравенства является интервал $(2a + 1; a)$. Отрезок $[1; 2]$ должен целиком содержаться внутри этого интервала: $$ [1; 2] \subset (2a + 1; a) $$ Это условие равносильно системе неравенств: $$ \begin{cases} 2a + 1 < 1 \\ a > 2 \end{cases} $$ Решим эту систему: $$ \begin{cases} 2a < 0 \\ a > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} a < 0 \\ a > 2 \end{cases} $$ Данная система не имеет решений, так как не существует такого значения $a$, которое было бы одновременно меньше 0 и больше 2.

Случай 3: $a + 1 = 0$, то есть $a = -1$.

При $a=-1$ корни совпадают: $x_1 = x_2 = -1$. Неравенство принимает вид $(x - (-1))(x - (-1)) < 0$, то есть $(x + 1)^2 < 0$. Это неравенство не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Объединив результаты рассмотренных случаев, приходим к выводу, что условию задачи удовлетворяют только значения параметра $a$ из первого случая.

Ответ: $a \in (\frac{1}{2}; 1)$.