Номер 51, страница 49 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

51. Найдите НОК и НОД чисел:

а) 20, 35, 65;

б) 14, 42, 54.

а) 20, 35, 65;

Для того чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 20, 35 и 65, сначала разложим каждое из этих чисел на простые множители.

Разложение чисел на простые множители:

• $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
• $35 = 5 \cdot 7$
• $65 = 5 \cdot 13$

Наибольший общий делитель (НОД) находится как произведение общих простых множителей, взятых с наименьшей степенью из всех разложений. В данном случае, единственным общим множителем является 5, и его наименьшая степень — первая ($5^1$).

$НОД(20, 35, 65) = 5$

Наименьшее общее кратное (НОК) находится как произведение всех простых множителей из всех разложений, взятых с наибольшей степенью. Мы берем все уникальные множители ($2, 5, 7, 13$) в их максимальных степенях ($2^2, 5^1, 7^1, 13^1$).

$НОК(20, 35, 65) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 20 \cdot 91 = 1820$

Ответ: НОД = 5, НОК = 1820.

б) 14, 42, 54.

Аналогично, для нахождения НОД и НОК чисел 14, 42 и 54, разложим их на простые множители.

Разложение чисел на простые множители:

• $14 = 2 \cdot 7$
• $42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
• $54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3 \cdot 9 = 2 \cdot 3^3$

Для нахождения НОД мы ищем общие простые множители в наименьшей степени. Общим множителем является 2, его наименьшая степень — первая ($2^1$).

$НОД(14, 42, 54) = 2$

Для нахождения НОК мы берем все простые множители ($2, 3, 7$) в их наибольших степенях ($2^1, 3^3, 7^1$).

$НОК(14, 42, 54) = 2 \cdot 3^3 \cdot 7 = 2 \cdot 27 \cdot 7 = 54 \cdot 7 = 378$

Ответ: НОД = 2, НОК = 378.