Номер 160, страница 38 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

160. Автомобили различной грузоподъёмности могут перевезти некоторый груз, работая отдельно:

первый — за 10 ч, второй — за 12 ч, а третий — за 15 ч. За какое время они могут перевезти этот же груз, работая совместно?

Для решения данной задачи необходимо определить, какую часть груза перевозит каждый автомобиль за один час (т.е. их производительность), затем найти их общую производительность при совместной работе и, наконец, вычислить, сколько времени потребуется для перевозки всего груза.

Примем весь объем груза за 1.

1. Найдем производительность каждого автомобиля:

• Производительность первого автомобиля составляет $v_1 = \frac{1}{10}$ часть груза в час.
• Производительность второго автомобиля составляет $v_2 = \frac{1}{12}$ часть груза в час.
• Производительность третьего автомобиля составляет $v_3 = \frac{1}{15}$ часть груза в час.

2. Найдем общую производительность трех автомобилей при совместной работе:
Для этого необходимо сложить их производительности:
$v_{общ} = v_1 + v_2 + v_3 = \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 10, 12 и 15 является 60.
$v_{общ} = \frac{6}{60} + \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{6+5+4}{60} = \frac{15}{60}$
Сократим полученную дробь:
$v_{общ} = \frac{1}{4}$
Таким образом, работая вместе, три автомобиля за 1 час перевозят $\frac{1}{4}$ часть всего груза.

3. Вычислим время, за которое автомобили перевезут весь груз, работая совместно:
Чтобы найти общее время ($t_{общ}$), нужно всю работу (1) разделить на общую производительность ($v_{общ}$):
$t_{общ} = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 1 \cdot 4 = 4$ часа.

Ответ: работая совместно, автомобили могут перевезти этот же груз за 4 часа.