Номер 14, страница 103 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

14. Найдите сумму всех целых чисел:

а) от $-10$ до $10$;

б) от $-70$ до $80$;

в) от $-190$ до $190$.

г) от $-5$ до $15$.

Чтобы найти сумму всех целых чисел от -10 до 10, мы складываем последовательность чисел: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... .

Можно заметить, что для каждого положительного числа в этом диапазоне есть соответствующее ему по модулю отрицательное число. Например, -10 и 10, -9 и 9, и так далее. Сумма каждой такой пары противоположных чисел равна нулю:

$(-10 + 10) = 0$

$(-9 + 9) = 0$

...

$(-1 + 1) = 0$

Число 0 в середине последовательности не меняет общую сумму. Таким образом, итоговая сумма представляет собой сумму нулей:

$S = (-10 + 10) + (-9 + 9) + \dots + (-1 + 1) + 0 = 0$

Ответ: 0

Нужно найти сумму целых чисел в диапазоне от -70 до 80. Эту сумму можно представить как сумму двух частей: сумму чисел от -70 до 70 и сумму чисел от 71 до 80.

1. Сумма чисел от -70 до 70, как и в предыдущем примере, равна нулю, так как для каждого положительного числа есть противоположное ему отрицательное, и их сумма дает 0.

$ \sum_{i=-70}^{70} i = (-70 + ... + -1) + 0 + (1 + ... + 70) = 0 $

2. Теперь найдем сумму оставшихся чисел: от 71 до 80. Это арифметическая прогрессия.

• Первый член прогрессии $a_1 = 71$.
• Последний член прогрессии $a_n = 80$.
• Количество членов $n = 80 - 71 + 1 = 10$.

Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

$S = \frac{(71 + 80) \cdot 10}{2} = \frac{151 \cdot 10}{2} = 151 \cdot 5 = 755$

Общая сумма равна сумме двух частей: $0 + 755 = 755$.

Ответ: 755

Здесь, как и в пункте а), мы имеем симметричный диапазон целых чисел относительно нуля, от -190 до 190.

Для каждого целого числа $k$ в диапазоне от 1 до 190 существует противоположное ему число $-k$. Сумма таких пар всегда равна нулю: $k + (-k) = 0$.

Следовательно, сумма всех чисел в данном диапазоне равна нулю.

$S = (-190 + 190) + (-189 + 189) + \dots + (-1 + 1) + 0 = 0$

Ответ: 0

Требуется найти сумму целых чисел от -5 до 15. Разобьем эту последовательность на две части: сумму чисел от -5 до 5 и сумму чисел от 6 до 15.

1. Сумма чисел в симметричном диапазоне от -5 до 5 равна нулю.

$ \sum_{i=-5}^{5} i = (-5 + 5) + (-4 + 4) + (-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1 + 1) + 0 = 0$

2. Теперь найдем сумму оставшихся чисел, которые образуют арифметическую прогрессию от 6 до 15.

• Первый член прогрессии $a_1 = 6$.
• Последний член прогрессии $a_n = 15$.
• Количество членов $n = 15 - 6 + 1 = 10$.

Используем формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

$S = \frac{(6 + 15) \cdot 10}{2} = \frac{21 \cdot 10}{2} = 21 \cdot 5 = 105$

Итоговая сумма равна $0 + 105 = 105$.

Ответ: 105