Номер 13, страница 202 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

13. Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое звено ровно один раз?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся простым комбинаторным соображением, которое является частным случаем леммы о рукопожатиях.

Рассмотрим гипотетическую замкнутую 7-звенную ломаную. Обозначим ее 7 звеньев (отрезков). По условию задачи, на каждом из этих 7 звеньев должна находиться ровно одна точка пересечения с другим звеном. Важно уточнить, что смежные звенья, которые соединяются в вершине, не считаются пересекающимися в данном контексте (речь идет о пересечении во внутренних точках отрезков).

Пересечение — это всегда результат взаимодействия двух звеньев. Если звено A пересекает звено B, то и звено B пересекает звено A.

Подсчитаем общее количество пересечений, суммируя их по каждому звену. Поскольку у нас 7 звеньев и на каждом из них ровно одно пересечение, то общее количество "концов" пересечений, которые мы насчитаем на всех звеньях, равно:

$$ 7 \text{ звеньев} \times 1 \text{ пересечение на звено} = 7 $$

Теперь определим, скольким уникальным точкам пересечения это соответствует. Каждая точка пересечения по своей природе принадлежит двум отрезкам. Следовательно, когда мы суммировали пересечения по каждому звену, мы посчитали каждую реальную точку пересечения ровно дважды. Чтобы найти истинное число точек пересечения ($N$), необходимо разделить полученную сумму на 2.

$$ N = \frac{7}{2} $$

Результат показывает, что общее число точек пересечения должно быть $3.5$. Однако количество точек на плоскости не может быть дробным числом, оно обязательно должно быть целым. Возникшее противоречие доказывает, что ломаная с заданными свойствами не может существовать.

Ответ: Нет, такая ломаная не существует. Общее число точек пересечения в такой фигуре должно было бы равняться неправильной дроби $\frac{7}{2}$. Целая часть этой дроби равна 3, но само число не является целым. Поскольку количество точек пересечения может быть только целым числом, существование такой ломаной невозможно.