Номер 9, страница 201 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. В некотором государстве было 10 банков. Банк можно открыть только путём деления одного на четыре. Могло ли оказаться после открытия банков, что их число стало равным 2022?

Проанализируем, как меняется общее количество банков. Изначально в государстве было 10 банков.

Новый банк можно открыть только путем деления одного существующего банка на четыре. Это означает, что одна банковская единица исчезает (-1 банк), а вместо нее появляются четыре новые (+4 банка). Таким образом, при каждой такой операции общее количество банков в государстве увеличивается на:

$4 - 1 = 3$

Пусть $N_0 = 10$ — это начальное количество банков, а $k$ — это количество произведенных операций деления. Тогда итоговое количество банков $N$ после $k$ операций можно выразить формулой:

$N = N_0 + 3k$

Подставив наше начальное значение, получим:

$N = 10 + 3k$

Эта формула показывает, что любое возможное количество банков должно получаться из числа 10 прибавлением числа, кратного 3.

Могло ли оказаться после открытия банков, что их число стало равным 2022?

Чтобы ответить на этот вопрос, подставим желаемое количество банков $N = 2022$ в нашу формулу и найдем, какому значению $k$ (количеству операций) это соответствует. Число $k$ должно быть целым и неотрицательным.

$2022 = 10 + 3k$

Решим это уравнение относительно $k$:

$3k = 2022 - 10$

$3k = 2012$

$k = \frac{2012}{3}$

Теперь необходимо проверить, является ли $k$ целым числом. Для этого нужно выяснить, делится ли число 2012 на 3 без остатка. Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Сумма цифр числа 2012 равна:

$2 + 0 + 1 + 2 = 5$

Число 5 не делится на 3 нацело. Следовательно, и 2012 не делится на 3, а значит, $k$ не является целым числом. Представим $k$ в виде смешанной дроби:

$k = \frac{2012}{3} = 670\frac{2}{3}$

Поскольку количество операций по делению банков $k$ не может быть дробным, то достичь количества банков, равного 2022, невозможно.

Могло ли оказаться после открытия банков, что их число стало равным 2022? Ответ: Нет, не могло. Количество операций $k$, которое для этого потребовалось бы, не является целым числом: $k = \frac{2012}{3} = \textbf{670}\frac{2}{3}$.