Номер 5, страница 201 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

5. Можно ли числа 1, 2, 3, ..., 20 расставить в вершинах и серединах рёбер куба так, чтобы каждое число, стоящее в середине ребра, равнялось полусумме чисел на концах этого ребра?

Для ответа на этот вопрос проанализируем условие задачи. Пусть в вершинах, соединенных ребром, стоят числа $v_1$ и $v_2$, а в середине этого ребра стоит число $m$. По условию, должно выполняться равенство:

$m = \frac{v_1 + v_2}{2}$

Это равенство можно переписать в виде:

$2m = v_1 + v_2$

Проведем анализ этого соотношения с двух точек зрения.

1. Анализ по четности

Из уравнения $v_1 + v_2 = 2m$ следует, что сумма чисел в любых двух соединенных ребром вершинах ($v_1 + v_2$) всегда является четным числом, так как она равна удвоенному целому числу $m$.

Сумма двух целых чисел является четной только в двух случаях:

• Оба числа четные (четное + четное = четное).
• Оба числа нечетные (нечетное + нечетное = четное).

Это означает, что числа, стоящие в любых двух соседних вершинах куба, должны иметь одинаковую четность.

Поскольку от любой вершины куба можно добраться до любой другой, переходя по ребрам, то все числа, расставленные в 8 вершинах куба, должны иметь одинаковую четность. То есть, все 8 чисел в вершинах должны быть либо четными, либо нечетными.

2. Анализ по величине чисел

Из того же уравнения $m = \frac{v_1 + v_2}{2}$ следует, что число $m$ является средним арифметическим чисел $v_1$ и $v_2$. Это значит, что $m$ всегда находится строго между $v_1$ и $v_2$ (если $v_1 \neq v_2$, что выполняется по условию, так как все числа от 1 до 20 различны). То есть, $v_1 < m < v_2$ или $v_2 < m < v_1$.

Рассмотрим наименьшее и наибольшее числа из нашего набора: 1 и 20.

• Может ли число 1 стоять в середине ребра? Если $m=1$, то $v_1 + v_2 = 2 \cdot 1 = 2$. Но числа $v_1$ и $v_2$ должны быть различными целыми числами из набора {2, 3, ..., 20}, их минимальная сумма равна $2+3=5$. Следовательно, число 1 не может стоять в середине ребра. Оно должно стоять в одной из вершин.
• Может ли число 20 стоять в середине ребра? Если $m=20$, то $v_1 + v_2 = 2 \cdot 20 = 40$. Но числа $v_1$ и $v_2$ должны быть различными целыми числами из набора {1, 2, ..., 19}, их максимальная сумма равна $18+19=37$. Следовательно, число 20 не может стоять в середине ребра. Оно должно стоять в одной из вершин.

Вывод и противоречие

Из пункта 2 мы установили, что числа 1 и 20 обязательно должны быть размещены в вершинах куба.

Из пункта 1 мы установили, что все 8 чисел, размещенных в вершинах куба, должны иметь одинаковую четность.

Однако число 1 — нечетное, а число 20 — четное. Они не могут одновременно находиться в множестве чисел, которые все имеют одинаковую четность.

Полученное противоречие доказывает, что расставить числа от 1 до 20 требуемым образом невозможно.

Ответ: Нет, так расставить числа нельзя.