Номер 1.176, страница 40, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

1.176. При опросе 100 учеников выяснилось, что у 33 из них есть брат, у 54 — сестра, а у 37 учеников нет ни брата, ни сестры. У скольких учеников есть и брат, и сестра?

1.176

$1) (33 + 54 + 37) – 100 = 124 – 100 = 24$(у) – у стольких есть и брат, и сестра.

Ответ: у 24 учеников

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений из теории множеств. Обозначим данные из условия:

• Общее количество учеников: $100$.
• Количество учеников, у которых есть брат (множество Б): $|Б| = 33$.
• Количество учеников, у которых есть сестра (множество С): $|С| = 54$.
• Количество учеников, у которых нет ни брата, ни сестры: $37$.

Наша цель — найти количество учеников, у которых есть и брат, и сестра, то есть найти мощность пересечения множеств Б и С: $|Б \cap С|$.

1. Найдем количество учеников, у которых есть хотя бы один родственник (брат или сестра).

Это количество равно общему числу учеников минус те, у кого нет ни братьев, ни сестер. Это число соответствует мощности объединения множеств Б и С: $|Б \cup С|$.

$|Б \cup С| = (\text{Всего учеников}) - (\text{Ученики без братьев и сестер})$

$|Б \cup С| = 100 - 37 = 63$

Таким образом, 63 ученика имеют либо брата, либо сестру, либо и того, и другого.

2. Применим формулу включений-исключений.

Формула для двух множеств выглядит так:

$|Б \cup С| = |Б| + |С| - |Б \cap С|$

Мы знаем значения всех величин в этой формуле, кроме той, которую нужно найти — $|Б \cap С|$. Выразим ее из формулы:

$|Б \cap С| = |Б| + |С| - |Б \cup С|$

3. Подставим известные значения и вычислим результат.

$|Б \cap С| = 33 + 54 - 63$

$|Б \cap С| = 87 - 63$

$|Б \cap С| = 24$

Ответ: 24.