Номер 5.121, страница 94, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

5.121. Старинная задача.
— Скажи мне, учитель, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
— Вот сколько, — ответил учитель. — Половина изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть ещё три женщины.

5.121

Пусть х учеников – посещают школу, тогда $\frac{1}{2}х$ учеников – изучают математику, $\frac{1}{4}х$ учеников – изучают природу, $\frac{1}{7}х$ учеников – проводят время в размышлении, получим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}х + \frac{1}{4} х+ \frac{1}{7}х + 3 =х; \overline{)· 28} \\ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}х ·\stackrel{14}{ \cancel{28} }+ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} х · \stackrel{7}{\cancel{28}}+ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}}х ·\stackrel{4}{ \bcancel{28}} + 3 · 28 =х · 28; \\ \frac{1}{1}х · 14 + \frac{1}{1} х · 7+ \frac{1}{1}х · 4 + 84 =28х; \\ 14х + 7х + 4х + 84 = 28х; \\ 25х – 28х = -84; \\ -3х = -84; \\ х = -84 : (-3); \end{gathered}$$

х = 28 учеников – посещают школу

Ответ: 28 учеников.

Это классическая задача на составление уравнения. Давайте решим её по шагам.

Пусть $x$ — это общее количество учеников в школе. Согласно рассказу учителя, мы можем разбить всех учеников на четыре группы:

• Половина изучает математику: $ \frac{1}{2}x $
• Четверть изучает природу: $ \frac{1}{4}x $
• Седьмая часть проводит время в размышлении: $ \frac{1}{7}x $
• И ещё 3 женщины.

Сумма всех этих групп должна быть равна общему количеству учеников $x$. Составим уравнение:

$ \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 3 = x $

Чтобы решить это уравнение, сначала найдем сумму дробей в левой части. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 4 и 7 равно 28.

$ \frac{14}{28}x + \frac{7}{28}x + \frac{4}{28}x + 3 = x $

Теперь сложим коэффициенты при $x$:

$ \frac{14 + 7 + 4}{28}x + 3 = x $

$ \frac{25}{28}x + 3 = x $

Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть уравнения, чтобы изолировать число 3:

$ 3 = x - \frac{25}{28}x $

Чтобы выполнить вычитание, представим $x$ как $ \frac{28}{28}x $:

$ 3 = \frac{28}{28}x - \frac{25}{28}x $

$ 3 = \frac{3}{28}x $

Наконец, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $ \frac{28}{3} $:

$ x = 3 \cdot \frac{28}{3} $

$ x = 28 $

Проверим результат:

• Изучают математику: $ \frac{1}{2} \cdot 28 = 14 $ учеников.
• Изучают природу: $ \frac{1}{4} \cdot 28 = 7 $ учеников.
• Проводят время в размышлении: $ \frac{1}{7} \cdot 28 = 4 $ ученика.
• Женщины: 3.

Общее число учеников: $ 14 + 7 + 4 + 3 = 28 $. Решение верное.

Ответ: всего в школе учителя было 28 учеников.