Номер 6.60, страница 107, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

6.60. Отметьте на координатной плоскости точки Т и Е, имеющие одинаковые абсциссы, но противоположные ординаты. Проверьте, верно ли, что ТЕ ⟂ ОА и АТ = АЕ, где О – начало координат, А – точка пересечения ТЕ с осью абсцисс.

6.60

Т(3; 5) и Е(3; -5)

ТЕ ⊥ ОА

АТ = АЕ

Для решения задачи выберем конкретные координаты для точек T и E, которые удовлетворяют условию: они имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Пусть абсцисса (координата x) обеих точек будет равна 3. Пусть ордината (координата y) точки T будет равна 4. Тогда ордината точки E должна быть противоположной, то есть -4.

Таким образом, мы отметили на координатной плоскости точки: $T(3, 4)$ и $E(3, -4)$.

Далее определим координаты точек O и A.
Точка $O$ — начало координат, поэтому ее координаты $O(0, 0)$.
Точка $A$ — точка пересечения отрезка TE с осью абсцисс (осью Ox). Отрезок TE соединяет точки $T(3, 4)$ и $E(3, -4)$. Поскольку у них одинаковая абсцисса, отрезок TE является вертикальным и описывается уравнением $x=3$. Ось абсцисс описывается уравнением $y=0$. Точка их пересечения A имеет координаты $A(3, 0)$.

Теперь перейдем к проверке утверждений, изложенных в задаче.

Проверим, верно ли, что $TE \perp OA$

Отрезок TE, соединяющий точки $T(3, 4)$ и $E(3, -4)$, лежит на вертикальной прямой $x=3$. Эта прямая параллельна оси ординат (Oy).
Отрезок OA соединяет точки $O(0, 0)$ и $A(3, 0)$, следовательно, он полностью лежит на оси абсцисс (Ox).
В декартовой системе координат оси абсцисс и ординат по определению взаимно перпендикулярны ($Ox \perp Oy$). Так как отрезок TE параллелен оси Oy, а отрезок OA лежит на оси Ox, то отрезки TE и OA также перпендикулярны.

Ответ: да, утверждение $TE \perp OA$ верно.

Проверим, верно ли, что $AT = AE$

Для проверки этого равенства найдем длины отрезков AT и AE, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Координаты точек: $A(3, 0)$, $T(3, 4)$ и $E(3, -4)$.
Длина отрезка AT:
$AT = \sqrt{(3-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$.
Длина отрезка AE:
$AE = \sqrt{(3-3)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$.
Сравнивая полученные длины, мы видим, что $AT = 4$ и $AE = 4$, следовательно, $AT = AE$. Это равенство также следует из того, что точки T и E по условию симметричны относительно оси абсцисс, а точка A является их общей проекцией на эту ось, поэтому расстояния от T и E до A равны.

Ответ: да, утверждение $AT = AE$ верно.