Номер 6.67, страница 108, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

6.67. Найдите, сколько конфет было в коробке, если из коробки взяли 8 конфет, четверть остатка и ещё 14 конфет. После этого в коробке осталась половина первоначального числа конфет.

6.67

Пусть х конфет – было первоначально в коробке, тогда (х – 8) конфет – осталось в 1 раз, $\frac{1}{4}(х - 8)$ конфет – взяли во второй раз. Зная, что в коробке осталась половина числа конфет, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х - 8 - \frac{1}{4} (х - 8) - 14 = \frac{1}{2}х; \overline{) · 4} \\ х · 4- 8 · 4 - \frac{1}{\cancel{4}} (х - 8) · \cancel{4} - 14 · 4 = \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}}х · \stackrel{2}{\bcancel{4}}; \\ 4х -32 - \frac{1}{1} (х - 8) · 1 - 56 = \frac{1}{1}х ·2; \\ 4х – 32 – (х – 8) – 56 = 2х; \\ 4х – 32 – х + 8 – 56 – 2х = 0; \\ х = 32 – 8 + 56; \end{gathered}$$

х = 80 (конфет) – было в коробке

Ответ: 80 конфет.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это первоначальное количество конфет в коробке.

Опишем последовательность действий:

1. Сначала из коробки взяли 8 конфет. После этого в коробке осталось $x - 8$ конфет. Это количество является "остатком".
2. Затем из коробки взяли четверть остатка, то есть $\frac{1}{4}$ от $(x - 8)$ конфет. Количество взятых конфет на этом шаге равно $\frac{1}{4}(x - 8)$.
3. И после этого взяли ещё 14 конфет.

Общее количество конфет, которое взяли из коробки, равно сумме конфет, взятых на каждом этапе: $8 + \frac{1}{4}(x - 8) + 14$.

Согласно условию, в результате в коробке осталась половина первоначального числа конфет, то есть $\frac{1}{2}x$.

Количество взятых конфет можно также найти, вычтя из первоначального количества конфет конечное: $x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x$.

Теперь мы можем приравнять два выражения, описывающих общее количество взятых конфет, и составить уравнение:

$\frac{1}{2}x = 8 + \frac{1}{4}(x - 8) + 14$

Приступим к решению уравнения. Сначала сложим числовые слагаемые в правой части:

$\frac{1}{2}x = 22 + \frac{1}{4}(x - 8)$

Теперь раскроем скобки:

$\frac{1}{2}x = 22 + \frac{1}{4}x - \frac{8}{4}$

$\frac{1}{2}x = 22 + \frac{1}{4}x - 2$

Снова упростим правую часть:

$\frac{1}{2}x = 20 + \frac{1}{4}x$

Перенесём слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = 20$

Для вычитания дробей приведём их к общему знаменателю 4:

$\frac{2}{4}x - \frac{1}{4}x = 20$

$\frac{1}{4}x = 20$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:

$x = 20 \cdot 4$

$x = 80$

Следовательно, первоначально в коробке было 80 конфет.

Проверка:

1. В коробке было 80 конфет.
2. Взяли 8 конфет. Осталось: $80 - 8 = 72$ конфеты.
3. Взяли четверть остатка: $\frac{1}{4} \cdot 72 = 18$ конфет.
4. Взяли ещё 14 конфет.
5. Всего взяли: $8 + 18 + 14 = 40$ конфет.
6. В коробке осталось: $80 - 40 = 40$ конфет.
7. Половина от первоначального числа конфет: $\frac{80}{2} = 40$.

Количество оставшихся конфет совпадает с половиной первоначального. Решение верное.

Ответ: 80 конфет.