Номер 87, страница 135, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.87. Отрезок MN на 5 см меньше отрезка PQ. Если отрезок PQ увеличить на 7 см, а отрезок MN увеличить в 4 раза, то их длины будут равны. Найдите длины отрезков.

П.87

Пусть х см – отрезок MN, тогда (х + 5) см – отрезок PQ,
(х + 5 + 7) = (х + 12) см – стал отрезок PQ, 4х см – стал отрезок MN, т.к. длины отрезков стали равны, получаем уравнение:

$$\begin{gathered} 4х = х + 12; \\ 4х – х = 12; \\ 3х = 12; \\ х = 12 : 3; \end{gathered}$$

х = 4 (см) – отрезок MN

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 4 + 5 = 9$ (см) – отрезок PQ

Ответ: 4 см и 9 см.

Для решения задачи составим систему уравнений. Обозначим длину отрезка $MN$ как $m$, а длину отрезка $PQ$ как $p$.

Из первого условия задачи известно, что отрезок $MN$ на 5 см меньше отрезка $PQ$. Это можно записать в виде уравнения:

$m = p - 5$

Из второго условия известно, что если отрезок $PQ$ увеличить на 7 см (получим $p + 7$), а отрезок $MN$ увеличить в 4 раза (получим $4m$), то их длины будут равны. Это дает нам второе уравнение:

$4m = p + 7$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} m = p - 5 \\ 4m = p + 7 \end{cases}$

Подставим выражение для $m$ из первого уравнения во второе:

$4(p - 5) = p + 7$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $p$:

$4p - 20 = p + 7$

Перенесем слагаемые с $p$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$4p - p = 7 + 20$

$3p = 27$

$p = \frac{27}{3}$

$p = 9$

Таким образом, длина отрезка $PQ$ составляет 9 см.

Теперь, зная длину $PQ$, найдем длину отрезка $MN$, используя первое уравнение:

$m = p - 5 = 9 - 5 = 4$

Длина отрезка $MN$ составляет 4 см.

Проверим полученные результаты. Длина $MN$ (4 см) действительно на 5 см меньше длины $PQ$ (9 см). Если $PQ$ увеличить на 7 см, получится $9 + 7 = 16$ см. Если $MN$ увеличить в 4 раза, получится $4 \cdot 4 = 16$ см. Длины равны, что соответствует условию.

Ответ: длина отрезка $MN$ равна 4 см, длина отрезка $PQ$ равна 9 см.