Номер 28.12, страница 130 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

28.12*. Найдите корни уравнения $x^2 + 4 \cdot |x - 3| - 7x + 11 = 0$.

Для решения данного уравнения, содержащего модуль, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем $x - 3$.

1. Случай, когда $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс: $|x - 3| = x - 3$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 + 4(x - 3) - 7x + 11 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 4x - 12 - 7x + 11 = 0$

$x^2 - 3x - 1 = 0$

Получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Таким образом, получаем два потенциальных корня: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge 3$.

Проверим корень $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$. Сравним его с 3:

$\frac{3 + \sqrt{13}}{2} \ge 3 \iff 3 + \sqrt{13} \ge 6 \iff \sqrt{13} \ge 3 \iff 13 \ge 9$.

Неравенство верное, значит, корень $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ удовлетворяет условию.

Проверим корень $x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$. Сравним его с 3:

$\frac{3 - \sqrt{13}}{2} \ge 3 \iff 3 - \sqrt{13} \ge 6 \iff -\sqrt{13} \ge 3$.

Неравенство неверное, так как слева отрицательное число, а справа положительное. Значит, корень $x_2$ не удовлетворяет условию.

2. Случай, когда $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 + 4(-x + 3) - 7x + 11 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x + 12 - 7x + 11 = 0$

$x^2 - 11x + 23 = 0$

Снова получили квадратное уравнение. Найдем его корни.

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23 = 121 - 92 = 29$

Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Получаем два потенциальных корня: $x_3 = \frac{11 + \sqrt{29}}{2}$ и $x_4 = \frac{11 - \sqrt{29}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < 3$.

Проверим корень $x_3 = \frac{11 + \sqrt{29}}{2}$. Сравним его с 3:

$\frac{11 + \sqrt{29}}{2} < 3 \iff 11 + \sqrt{29} < 6 \iff \sqrt{29} < -5$.

Неравенство неверное. Значит, корень $x_3$ не удовлетворяет условию.

Проверим корень $x_4 = \frac{11 - \sqrt{29}}{2}$. Сравним его с 3:

$\frac{11 - \sqrt{29}}{2} < 3 \iff 11 - \sqrt{29} < 6 \iff 5 < \sqrt{29} \iff 25 < 29$.

Неравенство верное, значит, корень $x_4 = \frac{11 - \sqrt{29}}{2}$ удовлетворяет условию.

Объединив решения из двух случаев, получаем все корни исходного уравнения.

Ответ: $\frac{3 + \sqrt{13}}{2}; \frac{11 - \sqrt{29}}{2}$.