Номер 2.7, страница 17 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.7. Представьте числа:

a) 32; 16; 8; 4; 2; 1; $ \frac{1}{2} $; $ \frac{1}{4} $; $ \frac{1}{8} $; $ \frac{1}{16} $; $ \frac{1}{32} $ в виде степени с основанием 2;

б) $ \frac{1}{81} $; $ \frac{1}{27} $; $ \frac{1}{9} $; $ \frac{1}{3} $; 1; 3; 9; 27; 81 в виде степени с основанием 3.

а) Чтобы представить данные числа в виде степени с основанием 2, необходимо найти показатель степени, в которую нужно возвести число 2 для получения каждого из этих чисел. Для этого мы будем использовать определение степени с натуральным, нулевым и отрицательным целым показателем.

• $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$
• $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
• $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
• $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
• $2 = 2^1$
• Для числа 1 используем свойство $a^0 = 1$ (для любого $a \neq 0$): $1 = 2^0$
• Для дробей используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
• $\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} = 2^{-1}$
• $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$
• $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
• $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$
• $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$

Ответ: $32=2^5$; $16=2^4$; $8=2^3$; $4=2^2$; $2=2^1$; $1=2^0$; $\frac{1}{2}=2^{-1}$; $\frac{1}{4}=2^{-2}$; $\frac{1}{8}=2^{-3}$; $\frac{1}{16}=2^{-4}$; $\frac{1}{32}=2^{-5}$.

б) Аналогично представим данные числа в виде степени с основанием 3.

• Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
• $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$ (так как $81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$)
• $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$ (так как $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$)
• $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$ (так как $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$)
• $\frac{1}{3} = \frac{1}{3^1} = 3^{-1}$
• Для числа 1: $1 = 3^0$
• $3 = 3^1$
• $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
• $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
• $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$

Ответ: $\frac{1}{81}=3^{-4}$; $\frac{1}{27}=3^{-3}$; $\frac{1}{9}=3^{-2}$; $\frac{1}{3}=3^{-1}$; $1=3^0$; $3=3^1$; $9=3^2$; $27=3^3$; $81=3^4$.