Номер 2.13, страница 60 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.13. a) В параллелограмме $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $B$ делят сторону $CD$ на два отрезка. Найдите периметр параллелограмма, если сторона $AB = 18 \text{ см}$.

б) Периметр параллелограмма $ABCD$ равен $36 \text{ см}$, биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в точке $N$, принадлежащей стороне $BC$. Найдите длины сторон параллелограмма.

а)

Пусть в параллелограмме $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $E$, которая, согласно условию, лежит на стороне $CD$. По условию, сторона $AB = 18$ см. В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно, $CD = AB = 18$ см.

Рассмотрим биссектрису $AE$ угла $A$. Она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle DAE = \angle EAB$. Поскольку стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), то углы $\angle EAB$ и $\angle AED$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $AE$. Следовательно, $\angle EAB = \angle AED$. Из этих двух равенств ($\angle DAE = \angle EAB$ и $\angle EAB = \angle AED$) получаем, что $\angle DAE = \angle AED$. Это означает, что треугольник $\triangle ADE$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AD = DE$.

Теперь рассмотрим биссектрису $BE$ угла $B$. Она делит угол $B$ на два равных угла: $\angle CBE = \angle EBA$. Так как $AB \parallel CD$, углы $\angle EBA$ и $\angle BEC$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $BE$. Следовательно, $\angle EBA = \angle BEC$. Из этого следует, что $\angle CBE = \angle BEC$. Таким образом, треугольник $\triangle BCE$ также является равнобедренным, и $BC = CE$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны $AD$ и $BC$ равны: $AD = BC$. Точка $E$ лежит на стороне $CD$, поэтому длина стороны $CD$ равна сумме длин отрезков $DE$ и $CE$: $CD = DE + CE$. Заменяя $DE$ на $AD$ и $CE$ на $BC$, получаем: $CD = AD + BC$. Так как $AD = BC$, мы можем написать: $CD = AD + AD = 2 \cdot AD$.

Мы знаем, что $CD = 18$ см. Значит, $18 = 2 \cdot AD$, откуда находим длину стороны $AD$: $AD = 18 / 2 = 9$ см. Итак, стороны параллелограмма равны $AB = CD = 18$ см и $AD = BC = 9$ см.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(AB + AD)$. Подставляем найденные значения: $P = 2(18 + 9) = 2 \cdot 27 = 54$ см.

Ответ: 54 см.

б)

Пусть в параллелограмме $ABCD$ стороны равны $AB = CD = a$ и $AD = BC = b$. Периметр параллелограмма равен $P = 2(a + b)$. По условию, $P = 36$ см, следовательно, $2(a + b) = 36$, откуда получаем первое уравнение: $a + b = 18$ см.

Биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $BC$. Рассмотрим биссектрису $AN$ угла $A$. Она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle DAN = \angle NAB$. Стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), поэтому углы $\angle DAN$ и $\angle ANB$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $AN$. Следовательно, $\angle DAN = \angle ANB$. Из этих равенств получаем, что $\angle NAB = \angle ANB$. Это означает, что треугольник $\triangle ABN$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AB = BN$. Так как $AB = a$, то $BN = a$.

Теперь рассмотрим биссектрису $DN$ угла $D$. Она делит угол $D$ на два равных угла: $\angle CDN = \angle ADN$. Стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), поэтому углы $\angle ADN$ и $\angle DNC$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $DN$. Следовательно, $\angle ADN = \angle DNC$. Из этого следует, что $\angle CDN = \angle DNC$. Таким образом, треугольник $\triangle CDN$ также является равнобедренным, и $CD = CN$. Так как $CD = a$, то $CN = a$.

Точка $N$ лежит на стороне $BC$, поэтому длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BN$ и $CN$: $BC = BN + CN$. Мы знаем, что $BC = b$, а $BN = a$ и $CN = a$. Подставляя эти значения, получаем второе уравнение: $b = a + a = 2a$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$a + b = 18$
$b = 2a$

Подставим второе уравнение в первое:
$a + 2a = 18$
$3a = 18$
$a = 18 / 3 = 6$ см.

Теперь найдем $b$ из второго уравнения:
$b = 2a = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Таким образом, длины сторон параллелограмма равны $a = AB = CD = 6$ см и $b = AD = BC = 12$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 6 см и 12 см.