Номер 2.9, страница 59 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.9. a) В параллелограмме $ABCD$ биссектриса $AN$ делит сторону $BC$ на отрезки $BN$ и $NC$, равные соответственно 12 см и 7 см. Найдите периметр параллелограмма.

б) В параллелограмме $ABCD$ $CD = 17$ см, периметр параллелограмма равен 96 см, биссектриса $BM$ делит сторону $AD$ на отрезки $AM$ и $MD$. Найдите длины отрезков $AM$ и $MD$.

а)

По условию дан параллелограмм $ABCD$, в котором биссектриса $AN$ угла $A$ делит сторону $BC$ на отрезки $BN = 12$ см и $NC = 7$ см.

1. Найдем длину стороны $BC$. Она равна сумме длин отрезков $BN$ и $NC$:
$BC = BN + NC = 12 \text{ см} + 7 \text{ см} = 19$ см.

2. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая $AN$ является секущей для этих параллельных прямых.

3. Углы $\angle NAD$ и $\angle BNA$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AN$, следовательно, они равны: $\angle NAD = \angle BNA$.

4. Так как $AN$ – биссектриса угла $A$, она делит его на два равных угла: $\angle BAN = \angle NAD$.

5. Из равенств $\angle NAD = \angle BNA$ и $\angle BAN = \angle NAD$ следует, что $\angle BAN = \angle BNA$.

6. Рассмотрим треугольник $ABN$. Поскольку два его угла равны ($\angle BAN = \angle BNA$), он является равнобедренным с основанием $AN$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны, лежащие против равных углов, равны. Следовательно, $AB = BN$.

7. Так как по условию $BN = 12$ см, то и сторона $AB = 12$ см.

8. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон. В нашем случае это стороны $AB$ и $BC$.
$P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(12 + 19) = 2 \cdot 31 = 62$ см.

Ответ: 62 см.

б)

По условию дан параллелограмм $ABCD$, в котором сторона $CD = 17$ см, а периметр $P_{ABCD} = 96$ см. Биссектриса $BM$ угла $B$ делит сторону $AD$ на отрезки $AM$ и $MD$.

1. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD = 17$ см.

2. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(AB + AD)$. Подставим известные значения и найдем длину стороны $AD$:
$96 = 2(17 + AD)$
$48 = 17 + AD$
$AD = 48 - 17 = 31$ см.

3. Противолежащие стороны параллелограмма параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая $BM$ является секущей.

4. Углы $\angle CBM$ и $\angle AMB$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BM$, следовательно, они равны: $\angle CBM = \angle AMB$.

5. Так как $BM$ – биссектриса угла $B$, она делит его на два равных угла: $\angle ABM = \angle CBM$.

6. Из равенств $\angle CBM = \angle AMB$ и $\angle ABM = \angle CBM$ следует, что $\angle ABM = \angle AMB$.

7. Рассмотрим треугольник $ABM$. Поскольку два его угла равны ($\angle ABM = \angle AMB$), он является равнобедренным с основанием $BM$. Следовательно, боковые стороны $AM$ и $AB$ равны.

8. Так как $AB = 17$ см, то и отрезок $AM = 17$ см.

9. Точка $M$ делит сторону $AD$ на отрезки $AM$ и $MD$. Длина $AD$ равна их сумме: $AD = AM + MD$. Найдем длину отрезка $MD$:
$MD = AD - AM = 31 - 17 = 14$ см.

Ответ: $AM = 17$ см, $MD = 14$ см.