Номер 4.13, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.13. a) В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC = 12$ см, $\angle CAD = 30^\circ$. Найдите расстояние от вершины $C$ до прямой $AD$.

б) В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $BD = 16$ см, $\angle CDB = 15^\circ$. Найдите расстояние от вершины $A$ до прямой $BD$.

а) В прямоугольнике $ABCD$ стороны $AD$ и $CD$ перпендикулярны ($ \angle D = 90^\circ $). Расстояние от вершины $C$ до прямой $AD$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AD$. Таким перпендикуляром является сторона $CD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. В нем гипотенуза $AC = 12$ см, а угол $ \angle CAD = 30^\circ $. Катет $CD$ лежит напротив угла в $30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, $CD = \frac{1}{2} AC$.
Также можно использовать определение синуса: $ \sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AC} $
$ CD = AC \cdot \sin(\angle CAD) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 $ см.
Ответ: 6 см.

б) В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $AO = BO = CO = DO = \frac{BD}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
Противоположные стороны прямоугольника параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $BD$ является секущей, поэтому накрест лежащие углы равны: $ \angle ABD = \angle CDB = 15^\circ $.
Рассмотрим треугольник $AOB$. Он является равнобедренным, так как $AO = BO = 8$ см. Углы при основании $AB$ равны: $ \angle OAB = \angle OBA = 15^\circ $. Угол при вершине $O$ равен $ \angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $.
Расстояние от вершины $A$ до прямой $BD$ — это высота $AH$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BO$ в треугольнике $AOB$.
Площадь треугольника $AOB$ можно найти по формуле $ S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma $.
$ S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(150^\circ) $.
С другой стороны, площадь этого же треугольника равна $ S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot AH $.
Приравняем эти два выражения: $ \frac{1}{2} \cdot BO \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB) $
$ AH = AO \cdot \sin(\angle AOB) $
Так как $ \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем:
$ AH = 8 \cdot \sin(150^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 $ см.
Ответ: 4 см.