Номер 5.2, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.2. $ABCD$ — ромб. Равные углы отмечены равным количеством дуг (рис. 117, а), б)). Найдите углы ромба.

а)$126^\circ$

б)$114^\circ$

Рис. 117

а)

Пусть $ABCD$ — ромб, и точка $K$ лежит на стороне $CD$. Из условия задачи нам дано, что $\angle AKC = 126^\circ$. Равные углы отмечены равным количеством дуг. В данном случае это означает, что $\angle DAK = \angle KCA$. Обозначим эти углы через $x$, то есть $\angle DAK = \angle KCA = x$.

Поскольку точка $K$ лежит на отрезке $CD$, угол $\angle KCA$ совпадает с углом $\angle DCA$. Следовательно, $\angle DCA = x$.

Углы $\angle AKC$ и $\angle AKD$ являются смежными, так как они образуют развернутый угол на прямой $CD$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
$\angle AKD = 180^\circ - \angle AKC = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$.

В ромбе противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$. Прямая $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. Накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны.
$\angle BAK = \angle AKD = 54^\circ$.

Угол $A$ ромба состоит из двух углов: $\angle BAD = \angle DAK + \angle BAK$.
Подставляя известные значения, получаем: $\angle A = x + 54^\circ$.

В ромбе диагональ является биссектрисой его углов. Диагональ $AC$ делит угол $C$ на два равных угла: $\angle DCA$ и $\angle BCA$.
Следовательно, $\angle C = 2 \cdot \angle DCA = 2x$.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому $\angle A = \angle C$.
Приравниваем выражения для углов $A$ и $C$:
$x + 54^\circ = 2x$
$x = 54^\circ$.

Теперь мы можем найти величины углов ромба.
$\angle A = \angle C = 2x = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$.
Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle B = \angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $108^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 72^\circ$.

б)

Пусть $ABCD$ — ромб, и точка $K$ лежит на стороне $AB$. Из условия задачи нам дано, что $\angle AKC = 114^\circ$. Равные углы отмечены равным количеством дуг. В данном случае это означает, что отрезок $CK$ является биссектрисой угла $C$, то есть $\angle BCK = \angle KCA$.

В ромбе противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$. Прямая $CK$ является секущей для этих параллельных прямых. Накрест лежащие углы $\angle BKC$ и $\angle DCK$ равны.

Углы $\angle AKC$ и $\angle BKC$ являются смежными, так как они образуют развернутый угол на прямой $AB$.
$\angle BKC = 180^\circ - \angle AKC = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$.

Так как $\angle DCK = \angle BKC$, то $\angle DCK = 66^\circ$.
Угол $\angle DCK$ — это и есть угол $C$ ромба. Таким образом, $\angle C = 66^\circ$.

Теперь найдем остальные углы ромба.
Противоположный угол $\angle A = \angle C = 66^\circ$.
Соседние углы $\angle B$ и $\angle D$ равны и в сумме с углом $C$ дают $180^\circ$:
$\angle B = \angle D = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$.

Проверим наше решение. Если $\angle C = 66^\circ$ и $CK$ — его биссектриса, то $\angle KCA = 66^\circ / 2 = 33^\circ$. Если $\angle A = 66^\circ$, то его биссектриса $AC$ делит его на два угла по $33^\circ$, то есть $\angle KAC = 33^\circ$. В треугольнике $AKC$ сумма углов будет $\angle KAC + \angle KCA + \angle AKC = 33^\circ + 33^\circ + 114^\circ = 180^\circ$. Все сходится.

Ответ: углы ромба равны $66^\circ, 114^\circ, 66^\circ, 114^\circ$.