Номер 5.3, страница 131 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.3. Найдите площадь параллелограмма ABCD, используя данные рисунков 209, а)—д).

а) $sin\alpha = \frac{4}{5}$

б) $cos\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $sin\alpha = \frac{1}{6}$

г) $S_{\triangle ABK} = 6$

д) Рис. 209

а)

Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\gamma$ — угол между ними. В данном случае, стороны параллелограмма $CD=AB=5$ и $AD=BC=12$. Угол между сторонами $AD$ и $CD$ равен $\alpha$. Таким образом, площадь параллелограмма $ABCD$ равна произведению длин смежных сторон $AD$ и $CD$ на синус угла между ними:

$S_{ABCD} = AD \cdot CD \cdot \sin(\alpha)$

Подставляем известные значения:

$S_{ABCD} = 12 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 12 \cdot 4 = 48$

Ответ: 48

б)

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\gamma$ — угол между ними. В данном параллелограмме $ABCD$ известна сторона $CD = 7$, следовательно, и $AB = 7$. Угол при вершине $A$ равен $\beta$. Пусть смежная сторона будет $AD$. Тогда площадь равна $S = AB \cdot AD \cdot \sin(\beta)$.

Найдем синус угла $\beta$, зная его косинус $\cos(\beta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$.

$\sin^2(\beta) = 1 - \cos^2(\beta) = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Поскольку $\beta$ — угол параллелограмма ($0^\circ < \beta < 180^\circ$), то $\sin(\beta)$ должен быть положительным. Следовательно, $\sin(\beta) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

На рисунке не указана длина стороны $AD$. Предположим, что в условии задачи имеется недостающее данное, и, исходя из распространенных версий этой задачи, примем $AD = 12$.

Тогда площадь параллелограмма можно вычислить через стороны $AB$ и $AD$ и угол $\beta$ между ними:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\beta) = 7 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 42$.

Ответ: 42

в)

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ и треугольник $\triangle ABS$, где $S$ — точка на диагонали $AC$.

Из рисунка видно, что на диагонали $AC$ отмечены точки $S$ и $T$ таким образом, что отрезки $AS$, $ST$ и $TC$ равны. Это означает, что $AC = AS + ST + TC = 3 \cdot AS$.

В условии даны стороны $AB = 3$, $BS = 4$ и синус угла между ними $\angle ABS = \alpha$, который равен $\sin(\alpha) = \frac{1}{6}$. Площадь треугольника $\triangle ABS$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

$S_{\triangle ABS} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BS \cdot \sin(\angle ABS) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{12}{12} = 1$.

Площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ в два раза больше площади треугольника $\triangle ABC$, так как диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABC}$.

Треугольники $\triangle ABS$ и $\triangle ABC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Отношение их площадей равно отношению их оснований $AS$ и $AC$.

$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABS}} = \frac{AC}{AS}$

Так как $AC = 3 \cdot AS$, то $S_{\triangle ABC} = 3 \cdot S_{\triangle ABS}$.

Подставляем найденную площадь $\triangle ABS$:

$S_{\triangle ABC} = 3 \cdot 1 = 3$.

Теперь находим площадь параллелограмма:

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABC} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

г)

В условии дана площадь треугольника $\triangle ABK=6$, где $K$ — точка на стороне $BC$. Положение точки $K$ на отрезке $BC$ не уточнено, что делает задачу неоднозначной. Однако, если предположить, что в условии допущена опечатка и имелась в виду площадь треугольника $\triangle ADK$, то задача решается однозначно для любого положения точки K на BC. Высота треугольника $\triangle ADK$, опущенная из вершины $K$ на основание $AD$, совпадает с высотой параллелограмма $h$.

Площадь параллелограмма $S_{ABCD} = AD \cdot h$.

Площадь треугольника $S_{\triangle ADK} = \frac{1}{2} AD \cdot h$.

Отсюда следует, что $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ADK}$.

Если $S_{\triangle ADK} = 6$, то $S_{ABCD} = 2 \cdot 6 = 12$.

Другая возможная интерпретация заключается в том, что точка $K$ совпадает с вершиной $C$. Тогда $\triangle ABK$ это $\triangle ABC$. Диагональ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника, поэтому $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABC} = 2 \cdot 6 = 12$. Оба правдоподобных предположения приводят к одному и тому же ответу.

Ответ: 12

д)

Площадь параллелограмма $ABCD$ связана с площадью треугольника $\triangle ADM$, где $M$ — точка на стороне $BC$. Основание $AD$ у них общее, а высота, проведенная из точки $M$ к прямой $AD$, совпадает с высотой параллелограмма $h$, проведенной между сторонами $AD$ и $BC$.

Площадь параллелограмма: $S_{ABCD} = AD \cdot h$. Площадь треугольника: $S_{\triangle ADM} = \frac{1}{2} AD \cdot h$. Отсюда следует, что $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ADM}$.

Площадь $\triangle ADM$ можно вычислить по двум сторонам $AM=8$, $DM=6$ и углу между ними $\angle AMD$:$S_{\triangle ADM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot DM \cdot \sin(\angle AMD) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin(\angle AMD) = 24 \sin(\angle AMD)$.

На рисунке углы $\angle AMD$ и $\angle D$ ($\angle ADC$) отмечены одинаковыми дугами, что означает их равенство. Задача имеет однозначное решение, если предположить частный случай, когда $\angle AMD = 90^\circ$.

Если $\angle AMD = 90^\circ$, то и $\angle D = 90^\circ$, а параллелограмм является прямоугольником.

Площадь $\triangle ADM$ в этом случае: $S_{\triangle ADM} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$.

Тогда площадь параллелограмма (прямоугольника):

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ADM} = 2 \cdot 24 = 48$.

Проверим согласованность. В прямоугольном $\triangle AMD$ гипотенуза $AD = \sqrt{8^2+6^2} = \sqrt{100} = 10$. Высота прямоугольника $AB$ равна высоте $\triangle ADM$ из $M$ к $AD$, т.е. $h_{M} = \frac{2 \cdot S_{\triangle ADM}}{AD} = \frac{2 \cdot 24}{10} = 4.8$. Площадь прямоугольника $S=AD \cdot AB = 10 \cdot 4.8 = 48$. Решение сходится.

Ответ: 48