Номер 5.6, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.6. а) Медианы $AP$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, угол $AOE$ равен $30^\circ$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AP = 12$ см, $CE = 9$ см.

б) Медианы $AP$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, угол $AOC$ равен $135^\circ$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AP = 6\sqrt{2}$ см, $CE = 15$ см.

а)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (назовем ее O), которая называется центроидом. Свойство центроида заключается в том, что он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Даны медианы $AP = 12$ см и $CE = 9$ см. Точка O — их точка пересечения.
Найдем длины отрезков, на которые точка O делит медианы:
$AO = \frac{2}{3} \cdot AP = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.
$OE = \frac{1}{3} \cdot CE = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.
Теперь мы можем найти площадь треугольника $AOE$, используя формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.
Стороны $AO$ и $OE$ образуют угол $\angle AOE = 30^\circ$.
$S_{\triangle AOE} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OE \cdot \sin(\angle AOE) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \cdot \sin(30^\circ)$.
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$S_{\triangle AOE} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см².
Три медианы треугольника делят его на шесть малых треугольников, площади которых равны. То есть, $S_{ABC} = 6 \cdot S_{\triangle AOE}$.
Следовательно, площадь треугольника $ABC$ равна:
$S_{ABC} = 6 \cdot 6 = 36$ см².

Ответ: 36 см².

б)

Аналогично пункту а), используем свойство точки пересечения медиан. Медианы $AP$ и $CE$ пересекаются в точке O, которая делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
Даны длины медиан: $AP = 6\sqrt{2}$ см и $CE = 15$ см.
Найдем длины отрезков $AO$ и $CO$:
$AO = \frac{2}{3} \cdot AP = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.
$CO = \frac{2}{3} \cdot CE = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ см.
В данном случае нам дан угол $\angle AOC = 135^\circ$. Найдем площадь треугольника $AOC$ по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.
$S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot CO \cdot \sin(\angle AOC) = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 10 \cdot \sin(135^\circ)$.
Значение синуса $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем значение в формулу:
$S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 20 \cdot \frac{2}{2} = 20$ см².
Площадь треугольника $AOC$ составляет одну треть от площади всего треугольника $ABC$. Это следует из того, что медианы делят треугольник $ABC$ на шесть равновеликих треугольников, а треугольник $AOC$ состоит из двух таких малых треугольников ($AOC = AOE + COE$, но $\angle AOE$ и $\angle COE$ смежные, а $S_{\triangle AOE} = S_{\triangle COE}$ неверно. Правильное рассуждение: $S_{AOC} = S_{AOF} + S_{COF}$, где F - середина AC. И все 6 малых треугольников $S_{AOF}, S_{COF}, S_{COP}, S_{BOP}, S_{BOE}, S_{AOE}$ равновелики.)
Таким образом, $S_{ABC} = 3 \cdot S_{\triangle AOC}$.
$S_{ABC} = 3 \cdot 20 = 60$ см².

Ответ: 60 см².