Номер 1.14, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.14. Сравните числа:

а) $\sqrt{121}$ и $\sqrt{100}$;

б) $\sqrt{625}$ и $\sqrt{676}$;

в) $\sqrt{16}$ и $8$;

г) $\frac{1}{6}$ и $\sqrt{0,36}$;

д) $1$ и $\sqrt{1\frac{7}{9}}$;

е) $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{\frac{25}{81}}$;

ж) $\sqrt{0,16}$ и $\sqrt{\frac{4}{25}}$;

з) $\sqrt{2,25}$ и $\sqrt{1\frac{15}{49}}$;

и) $\sqrt{\frac{1}{36}}$ и $\frac{1}{36}$.

а) $\sqrt{121}$ и $\sqrt{100}$

Чтобы сравнить два числа, находящиеся под знаком квадратного корня, достаточно сравнить подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, поэтому большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции.

Сравним числа $121$ и $100$.

$121 > 100$.

Следовательно, $\sqrt{121} > \sqrt{100}$.

Можно также вычислить значения корней: $\sqrt{121}=11$ и $\sqrt{100}=10$. Так как $11 > 10$, то $\sqrt{121} > \sqrt{100}$.

Ответ: $\sqrt{121} > \sqrt{100}$.

б) $\sqrt{625}$ и $\sqrt{676}$

Сравним подкоренные выражения: $625$ и $676$.

$625 < 676$.

Так как функция квадратного корня возрастающая, то $\sqrt{625} < \sqrt{676}$.

Проверка вычислением: $\sqrt{625}=25$ и $\sqrt{676}=26$. Так как $25 < 26$, то $\sqrt{625} < \sqrt{676}$.

Ответ: $\sqrt{625} < \sqrt{676}$.

в) $\sqrt{16}$ и $8$

Для сравнения этих чисел можно вычислить значение корня или возвести оба числа в квадрат.

Способ 1: Вычисление корня.

$\sqrt{16} = 4$.

Теперь сравним $4$ и $8$.

$4 < 8$. Следовательно, $\sqrt{16} < 8$.

Способ 2: Возведение в квадрат. Так как оба числа положительны, то знак неравенства сохранится.

$(\sqrt{16})^2 = 16$.

$8^2 = 64$.

Сравниваем $16$ и $64$: $16 < 64$. Следовательно, $\sqrt{16} < 8$.

Ответ: $\sqrt{16} < 8$.

г) $\frac{1}{6}$ и $\sqrt{0,36}$

Сначала вычислим значение корня: $\sqrt{0,36} = 0,6$.

Теперь нужно сравнить $\frac{1}{6}$ и $0,6$. Представим $0,6$ в виде обыкновенной дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Сравним дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{5}$. Приведем их к общему знаменателю $30$.

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$.

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30}$.

Так как $5 < 18$, то $\frac{5}{30} < \frac{18}{30}$, а значит $\frac{1}{6} < \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{6} < \sqrt{0,36}$.

д) $1$ и $\sqrt{1\frac{7}{9}}$

Для сравнения чисел $1$ и $\sqrt{1\frac{7}{9}}$ сначала упростим выражение под корнем. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$.

Представим неправильную дробь $\frac{4}{3}$ в виде смешанного числа: $\frac{4}{3} = \textbf{1}\frac{1}{3}$.

Теперь сравним $1$ и $\textbf{1}\frac{1}{3}$.

Поскольку $1 < \textbf{1}\frac{1}{3}$, то $1 < \sqrt{1\frac{7}{9}}$.

Ответ: $1 < \sqrt{1\frac{7}{9}}$.

е) $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{\frac{25}{81}}$

Вычислим значение квадратного корня:

$\sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} = \frac{5}{9}$.

Теперь сравним дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{9}$. Приведем их к общему знаменателю $18$.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{9}{18}$.

$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{10}{18}$.

Так как $9 < 10$, то $\frac{9}{18} < \frac{10}{18}$, а значит $\frac{1}{2} < \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{2} < \sqrt{\frac{25}{81}}$.

ж) $\sqrt{0,16}$ и $\sqrt{\frac{4}{25}}$

Сравним подкоренные выражения $0,16$ и $\frac{4}{25}$.

Представим десятичную дробь $0,16$ в виде обыкновенной дроби: $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$.

Поскольку подкоренные выражения равны ($0,16 = \frac{4}{25}$), то и значения корней равны.

Ответ: $\sqrt{0,16} = \sqrt{\frac{4}{25}}$.

з) $\sqrt{2,25}$ и $\sqrt{1\frac{15}{49}}$

Сравним числа $\sqrt{2,25}$ и $\sqrt{1\frac{15}{49}}$. Для этого вычислим значения корней.

Вычислим первый корень. Представим десятичную дробь в виде неправильной дроби: $2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

$\sqrt{2,25} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$. Переведем в смешанное число: $\frac{3}{2} = \textbf{1}\frac{1}{2}$.

Вычислим второй корень. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{15}{49} = \frac{1 \cdot 49 + 15}{49} = \frac{64}{49}$.

$\sqrt{1\frac{15}{49}} = \sqrt{\frac{64}{49}} = \frac{8}{7}$. Переведем в смешанное число: $\frac{8}{7} = \textbf{1}\frac{1}{7}$.

Теперь сравним полученные числа: $\textbf{1}\frac{1}{2}$ и $\textbf{1}\frac{1}{7}$.

Целые части у чисел равны ($1=1$). Сравним дробные части: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{7}$. Приведем их к общему знаменателю $14$: $\frac{1}{2} = \frac{7}{14}$ и $\frac{1}{7} = \frac{2}{14}$.

Так как $\frac{7}{14} > \frac{2}{14}$, то $\frac{1}{2} > \frac{1}{7}$. Следовательно, $\textbf{1}\frac{1}{2} > \textbf{1}\frac{1}{7}$.

Ответ: $\sqrt{2,25} > \sqrt{1\frac{15}{49}}$.

и) $\sqrt{\frac{1}{36}}$ и $\frac{1}{36}$

Вычислим значение корня: $\sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{36}} = \frac{1}{6}$.

Теперь сравним числа $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{36}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $36$: $\frac{1}{6} = \frac{6}{36}$.

Сравниваем $\frac{6}{36}$ и $\frac{1}{36}$. Так как $6 > 1$, то $\frac{6}{36} > \frac{1}{36}$.

Следовательно, $\frac{1}{6} > \frac{1}{36}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{1}{36}} > \frac{1}{36}$.