Номер 1.233, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.233. Вычислите:

a) $\sqrt{13 + 30\sqrt{2 + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}}}$;

б) $\sqrt{22 + 6\sqrt{5 + \sqrt{13 - \sqrt{48}}}}$.

a) $\sqrt{13 + 30\sqrt{2 + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}}}$

Для решения данного примера будем последовательно упрощать вложенные квадратные корни, начиная с самого внутреннего.

1. Упростим выражение $\sqrt{9 + 4\sqrt{2}}$. Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=9$ и $2ab = 4\sqrt{2}$, откуда $ab = 2\sqrt{2}$. Заметим, что числа $a=1$ и $b=2\sqrt{2}$ удовлетворяют этим условиям: $a^2+b^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 4 \cdot 2 = 1+8=9$. Следовательно, $9 + 4\sqrt{2} = (1 + 2\sqrt{2})^2$. Тогда, $\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} = 1 + 2\sqrt{2}$.

2. Подставим найденное значение в следующее подкоренное выражение: $2 + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = 2 + (1 + 2\sqrt{2}) = 3 + 2\sqrt{2}$. Теперь упростим $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$. Снова применим формулу полного квадрата. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=3$ и $2ab = 2\sqrt{2}$, откуда $ab = \sqrt{2}$. Этим условиям удовлетворяют $a=1$ и $b=\sqrt{2}$: $1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$. Значит, $3 + 2\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^2$. Тогда, $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = 1+\sqrt{2}$.

3. Подставим результат в исходное выражение: $\sqrt{13 + 30(1+\sqrt{2})} = \sqrt{13 + 30 + 30\sqrt{2}} = \sqrt{43 + 30\sqrt{2}}$.

4. Упростим последнее выражение $\sqrt{43 + 30\sqrt{2}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=43$ и $2ab = 30\sqrt{2}$, откуда $ab = 15\sqrt{2}$. Подходят $a=5$ и $b=3\sqrt{2}$: $5^2+(3\sqrt{2})^2 = 25 + 9 \cdot 2 = 25+18=43$. Следовательно, $43 + 30\sqrt{2} = (5+3\sqrt{2})^2$. Таким образом, $\sqrt{43 + 30\sqrt{2}} = \sqrt{(5+3\sqrt{2})^2} = 5+3\sqrt{2}$.

Полное значение выражения равно $5+3\sqrt{2}$. Найдем целую часть этого числа. Так как $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$, то $3 \cdot 1,41 < 3\sqrt{2} < 3 \cdot 1,42$, что дает $4,23 < 3\sqrt{2} < 4,26$. Тогда $5 + 4,23 < 5+3\sqrt{2} < 5 + 4,26$, то есть $9,23 < 5+3\sqrt{2} < 9,26$. Целая часть числа равна 9.

Ответ: a) 9.

б) $\sqrt{22 + 6\sqrt{5 + \sqrt{13 - \sqrt{48}}}}$

Решаем по аналогии с предыдущим примером, упрощая выражение изнутри.

1. Сначала упростим $\sqrt{48}$: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

2. Упростим выражение $\sqrt{13 - \sqrt{48}} = \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}$. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=13$ и $2ab = 4\sqrt{3}$, откуда $ab = 2\sqrt{3}$. Подходят $a=2\sqrt{3}$ и $b=1$: $(2\sqrt{3})^2+1^2 = 12+1=13$. Так как $2\sqrt{3} > 1$, то разность $2\sqrt{3}-1$ положительна. Следовательно, $13 - 4\sqrt{3} = (2\sqrt{3}-1)^2$. Тогда, $\sqrt{13 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2\sqrt{3}-1)^2} = 2\sqrt{3}-1$.

3. Подставим результат в следующее подкоренное выражение: $5 + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} = 5 + (2\sqrt{3}-1) = 4 + 2\sqrt{3}$. Теперь упростим $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=4$ и $ab=\sqrt{3}$. Подходят $a=\sqrt{3}$ и $b=1$: $(\sqrt{3})^2+1^2=3+1=4$. Значит, $4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^2$. Тогда, $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1$.

4. Подставим полученное значение в исходное выражение: $\sqrt{22 + 6(\sqrt{3}+1)} = \sqrt{22 + 6 + 6\sqrt{3}} = \sqrt{28 + 6\sqrt{3}}$.

5. Упростим $\sqrt{28 + 6\sqrt{3}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=28$ и $2ab = 6\sqrt{3}$, откуда $ab = 3\sqrt{3}$. Подходят $a=3\sqrt{3}$ и $b=1$: $(3\sqrt{3})^2+1^2 = 9 \cdot 3 + 1 = 27+1=28$. Следовательно, $28 + 6\sqrt{3} = (3\sqrt{3}+1)^2$. Таким образом, $\sqrt{28 + 6\sqrt{3}} = \sqrt{(3\sqrt{3}+1)^2} = 3\sqrt{3}+1$.

Полное значение выражения равно $1+3\sqrt{3}$. Найдем целую часть этого числа. Так как $1,73 < \sqrt{3} < 1,74$, то $3 \cdot 1,73 < 3\sqrt{3} < 3 \cdot 1,74$, что дает $5,19 < 3\sqrt{3} < 5,22$. Тогда $1 + 5,19 < 1+3\sqrt{3} < 1 + 5,22$, то есть $6,19 < 1+3\sqrt{3} < 6,22$. Целая часть числа равна 6.

Ответ: б) 6.