Номер 1.271, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.271. Вычислите:

$\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$

Для вычисления значения выражения $\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$ необходимо последовательно упрощать вложенные квадратные корни, начиная с самого внутреннего.

Первым шагом упростим выражение $\sqrt{29-12\sqrt{5}}$. Постараемся представить подкоренное выражение $29-12\sqrt{5}$ в виде полного квадрата разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для этого необходимо найти такие $a$ и $b$, чтобы выполнялись условия $a^2 + b^2 = 29$ и $2ab = 12\sqrt{5}$. Из второго равенства получаем $ab = 6\sqrt{5}$. Методом подбора находим, что числа $a=3$ и $b=2\sqrt{5}$ удовлетворяют этим условиям: $a^2+b^2 = 3^2+(2\sqrt{5})^2 = 9+4\cdot5=9+20=29$. Таким образом, можно записать $29-12\sqrt{5} = (3-2\sqrt{5})^2$. Теперь извлечем корень: $\sqrt{29-12\sqrt{5}} = \sqrt{(3-2\sqrt{5})^2} = |3-2\sqrt{5}|$. Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $3$ и $2\sqrt{5}$. Так как $3^2=9$, а $(2\sqrt{5})^2=20$, то $3 < 2\sqrt{5}$, и разность $3-2\sqrt{5}$ является отрицательным числом. Следовательно, по определению модуля, $|3-2\sqrt{5}| = -(3-2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}-3$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-(2\sqrt{5}-3)}} = \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}} = \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}$.

Далее упростим выражение $\sqrt{6-2\sqrt{5}}$. Аналогично первому шагу, представим $6-2\sqrt{5}$ в виде полного квадрата. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=6$ и $2ab=2\sqrt{5}$, откуда $ab=\sqrt{5}$. Этим условиям удовлетворяют $a=\sqrt{5}$ и $b=1$, так как $a^2+b^2=(\sqrt{5})^2+1^2=5+1=6$. Следовательно, $6-2\sqrt{5} = (\sqrt{5}-1)^2$. Тогда $\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = |\sqrt{5}-1|$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.23 > 1$, разность $\sqrt{5}-1$ положительна, поэтому $|\sqrt{5}-1| = \sqrt{5}-1$.

Наконец, подставляем это значение в оставшееся выражение и производим финальное вычисление:

$\sqrt{\sqrt{5}-(\sqrt{5}-1)} = \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1} = \sqrt{1} = 1$.

1.271. Ответ: 1