Номер 1.266, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.266. Сократите дробь:

a) $\frac{\sqrt{6} + 6}{\sqrt{6}};$

б) $\frac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{14} - \sqrt{2}};$

в) $\frac{6 + \sqrt{6}}{\sqrt{30} + \sqrt{5}};$

г) $\frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{15} - \sqrt{5}}.$

Для сокращения дробей в каждом из пунктов будем раскладывать числитель и знаменатель на множители и затем сокращать общие множители.

а) Рассмотрим дробь $ \frac{\sqrt{6}+6}{\sqrt{6}} $.

Есть два способа решения.

Способ 1: Вынесение общего множителя в числителе.

Представим число 6 в числителе как $ (\sqrt{6})^2 $. Тогда выражение примет вид:

$ \frac{\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2}{\sqrt{6}} $

Вынесем в числителе общий множитель $ \sqrt{6} $ за скобки:

$ \frac{\sqrt{6}(1+\sqrt{6})}{\sqrt{6}} $

Теперь можно сократить дробь на $ \sqrt{6} $:

$ 1+\sqrt{6} $

Способ 2: Почленное деление.

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$ \frac{\sqrt{6}+6}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} + \frac{6}{\sqrt{6}} $

Упростим каждое слагаемое. Первое слагаемое равно 1. Для второго избавимся от иррациональности в знаменателе:

$ 1 + \frac{6 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = 1 + \frac{6\sqrt{6}}{6} = 1 + \sqrt{6} $

Ответ: $ 1+\sqrt{6} $.

б) Рассмотрим дробь $ \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{14}-\sqrt{2}} $.

Разложим знаменатель на множители. Заметим, что $ \sqrt{14} = \sqrt{7 \cdot 2} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} $.

Тогда знаменатель можно записать как:

$ \sqrt{14}-\sqrt{2} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} $

Вынесем в знаменателе общий множитель $ \sqrt{2} $ за скобки:

$ \sqrt{2}(\sqrt{7}-1) $

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$ \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}(\sqrt{7}-1)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt{7}-1) $:

$ \frac{1}{\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

в) Рассмотрим дробь $ \frac{6+\sqrt{6}}{\sqrt{30}+\sqrt{5}} $.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе представим $ 6 $ как $ (\sqrt{6})^2 $ и вынесем общий множитель $ \sqrt{6} $ за скобки:

$ 6+\sqrt{6} = (\sqrt{6})^2 + \sqrt{6} = \sqrt{6}(\sqrt{6}+1) $

В знаменателе представим $ \sqrt{30} $ как $ \sqrt{6 \cdot 5} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} $ и вынесем общий множитель $ \sqrt{5} $ за скобки:

$ \sqrt{30}+\sqrt{5} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{6}+1) $

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\sqrt{6}(\sqrt{6}+1)}{\sqrt{5}(\sqrt{6}+1)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt{6}+1) $:

$ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{30}}{5} $.

г) Рассмотрим дробь $ \frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{15}-\sqrt{5}} $.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе представим $ 3 $ как $ (\sqrt{3})^2 $ и вынесем общий множитель $ \sqrt{3} $ за скобки:

$ \sqrt{3}-3 = \sqrt{3} - (\sqrt{3})^2 = \sqrt{3}(1-\sqrt{3}) $

В знаменателе представим $ \sqrt{15} $ как $ \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} $ и вынесем общий множитель $ \sqrt{5} $ за скобки:

$ \sqrt{15}-\sqrt{5} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{3}-1) $

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)} $

Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $ (1-\sqrt{3}) = -(\sqrt{3}-1) $. Вынесем минус за скобки в числителе:

$ \frac{-\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt{3}-1) $:

$ -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{15}}{5} $

Ответ: $ -\frac{\sqrt{15}}{5} $.