Номер 1.318, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.318. Замените знаки * одночленами так, чтобы получились тождества:

a) $ * + * + b^2 = (4a + *)^2; $

б) $ * - 10ab + * = (* - *)^2. $

а) Требуется заменить знаки * одночленами в тождестве: $* + * + b^2 = (4a + *)^2$.

Правая часть тождества является квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае первый член в скобках $x = 4a$. Пусть второй одночлен в скобках будет $y$. Тогда правая часть примет вид: $(4a + y)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot y + y^2 = 16a^2 + 8ay + y^2$.

Теперь сравним полученное выражение с левой частью исходного тождества: $* + * + b^2 = 16a^2 + 8ay + y^2$.

Сопоставляя члены, не содержащие переменной $a$, видим, что $y^2$ должно быть равно $b^2$. Отсюда следует, что $y = b$.

Подставим $y = b$ в раскрытое выражение для правой части, чтобы найти остальные одночлены: $16a^2 + 8a(b) + (b)^2 = 16a^2 + 8ab + b^2$.

Таким образом, мы заполнили все пропуски. Итоговое тождество: $16a^2 + 8ab + b^2 = (4a + b)^2$.

Ответ: $16a^2 + 8ab + b^2 = (4a + b)^2$.

б) Рассмотрим тождество: $* - 10ab + * = (* - *)^2$.

Данное тождество соответствует формуле квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Сравнивая левую часть $* - 10ab + *$ с выражением $x^2 - 2xy + y^2$, мы можем приравнять средние члены: $-2xy = -10ab$.

Из этого равенства получаем, что $xy = 5ab$.

Нам нужно подобрать такие одночлены $x$ и $y$, чтобы их произведение было равно $5ab$. Существует несколько вариантов. Рассмотрим два основных:

1. Пусть $x = 5a$ и $y = b$.
2. Пусть $x = a$ и $y = 5b$.

Случай 1: $x = 5a$ и $y = b$.

• Первый член слева: $x^2 = (5a)^2 = 25a^2$.
• Третий член слева: $y^2 = b^2$.

Тогда тождество принимает вид: $25a^2 - 10ab + b^2 = (5a - b)^2$.

Случай 2: $x = a$ и $y = 5b$.

• Первый член слева: $x^2 = a^2$.
• Третий член слева: $y^2 = (5b)^2 = 25b^2$.

Тогда тождество принимает вид: $a^2 - 10ab + 25b^2 = (a - 5b)^2$.

Оба варианта являются верными решениями.

Ответ: $25a^2 - 10ab + b^2 = (5a - b)^2$ или $a^2 - 10ab + 25b^2 = (a - 5b)^2$.