Номер 1.368, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.368. Найдите значения числа $a$, при которых наибольшим целым решением:

a) системы неравенств $\begin{cases} x < a, \\ x \ge -10 \end{cases}$ является число -5;

б) совокупности неравенств $\left[ \begin{array}{l} x \le a, \\ x < 3 \end{array} \right.$ является число 3.

а) Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x < a, \\ x \ge -10 \end{cases} $$

Решением этой системы являются все значения $x$, удовлетворяющие обоим неравенствам одновременно. Геометрически это пересечение двух промежутков: $(-\infty; a)$ и $[-10; +\infty)$. Результатом пересечения является промежуток $x \in [-10; a)$.

По условию, наибольшим целым решением является число -5. Это означает, что число -5 должно принадлежать промежутку решений, а следующее за ним целое число, то есть -4, принадлежать ему не должно.

Из этого следуют два условия для параметра $a$:

1. Число -5 является решением. Это значит, что -5 входит в промежуток $[-10; a)$, что в свою очередь означает выполнение неравенства $-5 < a$.
2. Число -4 не является решением. Это значит, что -4 не входит в промежуток $[-10; a)$, что в свою очередь означает, что неравенство $-4 < a$ неверно. Следовательно, должно быть верно $a \le -4$.

Объединяя эти два условия в систему, получаем двойное неравенство для $a$:

$$ \begin{cases} a > -5 \\ a \le -4 \end{cases} \implies -5 < a \le -4 $$

Таким образом, $a$ может принимать любые значения из полуинтервала $(-5; -4]$.

Ответ: $-5 < a \le -4$.

б) Рассмотрим совокупность неравенств:

$$ \begin{bmatrix} x \le a, \\ x < 3 \end{bmatrix} $$

Решением совокупности является объединение множеств решений каждого неравенства. Множество решений первого неравенства — это промежуток $(-\infty; a]$, второго — $(-\infty; 3)$. Решением совокупности является объединение этих промежутков: $(-\infty; a] \cup (-\infty; 3)$.

По условию, наибольшим целым решением является число 3.

Чтобы число 3 было решением, оно должно принадлежать множеству решений совокупности. Проверим, какому из неравенств может удовлетворять $x=3$:

• Неравенство $x < 3$ для $x=3$ не выполняется ($3 < 3$ — ложь).
• Следовательно, должно выполняться неравенство $x \le a$ для $x=3$. Отсюда получаем первое условие на параметр $a$: $3 \le a$.

Если $3 \le a$, то промежуток $(-\infty; 3)$ полностью содержится в промежутке $(-\infty; a]$. В этом случае их объединение совпадает с большим из промежутков, то есть $(-\infty; a]$. Итак, при $a \ge 3$ решением совокупности является $x \le a$.

Теперь найдем, при каких $a$ наибольшим целым решением промежутка $x \le a$ будет число 3. Это означает, что 3 должно быть решением, а следующее целое число, 4, решением быть не должно.

1. Число 3 является решением: $3 \le a$. (Это условие мы уже получили).
2. Число 4 не является решением: $4 \le a$ — неверно. Следовательно, должно быть верно $a < 4$.

Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство для $a$:

$$ \begin{cases} a \ge 3 \\ a < 4 \end{cases} \implies 3 \le a < 4 $$

Таким образом, $a$ может принимать любые значения из полуинтервала $[3; 4)$.

Ответ: $3 \le a < 4$.