Номер 1.365, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.365. Найдите значения числа $a$, при которых система

неравенств $\begin{cases}2x + 3 \ge x + 1, \\2x - a \le 2a - x\end{cases}$:

a) не имеет решений;

б) имеет множество решений, состоящее только из одной точки;

в) имеет решением отрезок.

Для решения задачи сначала упростим каждое неравенство системы.

Первое неравенство:

$2x + 3 \ge x + 1$

$2x - x \ge 1 - 3$

$x \ge -2$

Второе неравенство:

$2x - a \le 2a - x$

$2x + x \le 2a + a$

$3x \le 3a$

$x \le a$

Таким образом, исходная система неравенств эквивалентна системе:

Решением этой системы является пересечение двух числовых лучей: $[-2; +\infty)$ и $(-\infty; a]$. Результатом пересечения является отрезок $[-2; a]$.

Далее проанализируем условия задачи в зависимости от взаимного расположения точек $-2$ и $a$ на числовой оси.

а) не имеет решений;

Система не имеет решений, если множество решений является пустым. Отрезок $[-2; a]$ будет пустым множеством в том случае, если его левая граница будет строго больше правой.

$-2 > a$, что эквивалентно $a < -2$.

Ответ: $a < -2$.

б) имеет множество решений, состоящее только из одной точки;

Система имеет единственное решение, если отрезок $[-2; a]$ состоит из одной точки. Это возможно, если его левая и правая границы совпадают.

$-2 = a$.

В этом случае решением системы является $x = -2$.

Ответ: $a = -2$.

в) имеет решением отрезок.

Решением системы является отрезок, если множество решений является отрезком ненулевой длины. Это происходит, когда левая граница отрезка $[-2; a]$ меньше его правой границы.

$-2 < a$, что эквивалентно $a > -2$.

Ответ: $a > -2$.