устные вопросы и задания в § 4, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Верно ли, что $a\sqrt{a} = \sqrt{a^3}$, если:

а) $a = 5$;

б) $a = -2$;

в) $a = 0$;

г) $a = -1$?

2. Какие из следующих выражений принимают неотрицательные значения:

а) $\sqrt{(-3)^2}$;

б) $\sqrt{(-a)^2}$;

в) $(\sqrt{a})^2$;

г) $a\sqrt{a^3}$?

а) a = 5; Для проверки равенства $a\sqrt{a} = \sqrt{a^3}$ подставим $a=5$. Левая часть: $5\sqrt{5}$. Правая часть: $\sqrt{5^3} = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$. Равенство $5\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ верно. В общем случае, тождество $a\sqrt{a} = \sqrt{a^3}$ справедливо для всех $a \ge 0$. Ответ: Верно.

б) a = -2; Для $a=-2$ выражения $a\sqrt{a}$ и $\sqrt{a^3}$ не определены в области действительных чисел, так как подкоренные выражения ($\sqrt{-2}$ и $\sqrt{-8}$) содержат отрицательные числа. Следовательно, равенство не является верным. Ответ: Неверно.

в) a = 0; Подставляем $a=0$. Левая часть: $0\sqrt{0} = 0$. Правая часть: $\sqrt{0^3} = \sqrt{0} = 0$. Равенство $0=0$ верно. Ответ: Верно.

г) a = -1; Для $a=-1$ выражения $a\sqrt{a}$ и $\sqrt{a^3}$ не определены в области действительных чисел, так как подкоренное выражение ($\sqrt{-1}$) отрицательно. Следовательно, равенство не является верным. Ответ: Неверно.

а) $\sqrt{(-3)^2}$; Значение выражения равно $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$. Это значение является неотрицательным. Ответ: 3.

б) $\sqrt{(-a)^2}$; По свойству квадратного корня $\sqrt{x^2}=|x|$, имеем $\sqrt{(-a)^2}=|-a|=|a|$. Модуль любого действительного числа $|a|$ всегда больше или равен нулю, то есть является неотрицательным. Ответ: Принимает неотрицательные значения.

в) $(\sqrt{a})^2$; Данное выражение определено только при $a \ge 0$. В этой области $(\sqrt{a})^2 = a$. Поскольку $a$ по определению неотрицательно, то и значение выражения всегда неотрицательно. Ответ: Принимает неотрицательные значения.

г) $a\sqrt{a^3}$; Данное выражение определено при $a^3 \ge 0$, что равносильно $a \ge 0$. Если $a=0$, значение равно 0. Если $a>0$, то множители $a$ и $\sqrt{a^3}$ положительны, и их произведение тоже положительно. Значит, выражение всегда принимает неотрицательные значения. Ответ: Принимает неотрицательные значения.