Номер 1.189, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.189. Вынесите множитель за знак корня:

a) $\sqrt{7a^2}$;

б) $\sqrt{12b^4}$;

в) $\sqrt{28m^2n^6}$;

г) $\sqrt{0,09c^4d^8}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{7a^2}$, применим свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ и свойство $\sqrt{z^2} = |z|$.
$\sqrt{7a^2} = \sqrt{7 \cdot a^2} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{a^2} = |a|\sqrt{7}$.
Так как не указано, является ли переменная $a$ положительным или отрицательным числом, необходимо использовать знак модуля для обеспечения неотрицательности результата.
Ответ: $|a|\sqrt{7}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{12b^4}$. Сначала разложим число 12 на множители так, чтобы выделить множитель, являющийся полным квадратом: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
$\sqrt{12b^4} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot b^4} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{b^4} \cdot \sqrt{3}$.
Теперь извлечем корни из множителей, являющихся полными квадратами:
$\sqrt{4} = 2$.
$\sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} = b^2$. Знак модуля не требуется, так как $b^2$ всегда является неотрицательным числом.
Объединив множители, получаем: $2 \cdot b^2 \cdot \sqrt{3} = 2b^2\sqrt{3}$.
Ответ: $2b^2\sqrt{3}$

в) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{28m^2n^6}$. Разложим число 28 на множители: $28 = 4 \cdot 7$.
$\sqrt{28m^2n^6} = \sqrt{4 \cdot 7 \cdot m^2 \cdot n^6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{n^6} \cdot \sqrt{7}$.
Извлечем корни из полных квадратов:
$\sqrt{4} = 2$.
$\sqrt{m^2} = |m|$.
$\sqrt{n^6} = \sqrt{(n^3)^2} = |n^3|$.
Объединяем полученные множители: $2 \cdot |m| \cdot |n^3| \cdot \sqrt{7} = 2|mn^3|\sqrt{7}$.
Использование модулей необходимо, так как знаки переменных $m$ и $n$ не определены.
Ответ: $2|mn^3|\sqrt{7}$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{0.09ck^4d^8}$. Данное выражение имеет смысл только при условии $c \ge 0$.
Выделим множители, являющиеся полными квадратами: $0.09 = (0.3)^2$, $k^4 = (k^2)^2$, $d^8 = (d^4)^2$.
$\sqrt{0.09ck^4d^8} = \sqrt{0.09} \cdot \sqrt{k^4} \cdot \sqrt{d^8} \cdot \sqrt{c}$.
Извлечем корни:
$\sqrt{0.09} = 0.3$.
$\sqrt{k^4} = k^2$ (так как $k^2 \ge 0$).
$\sqrt{d^8} = d^4$ (так как $d^4 \ge 0$).
Множитель $c$ остается под знаком корня.
В результате получаем: $0.3 \cdot k^2 \cdot d^4 \cdot \sqrt{c} = 0.3k^2d^4\sqrt{c}$.
Ответ: $0.3k^2d^4\sqrt{c}$