Номер 1.88, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.88. Докажите, что число $\sqrt{5}$ является иррациональным.

Для доказательства того, что число $\sqrt{5}$ является иррациональным, используется метод доказательства от противного.

1. Предположение: Допустим, что $\sqrt{5}$ — рациональное число. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$.

Запишем это предположение в виде равенства:
$\sqrt{5} = \frac{p}{q}$

2. Преобразование уравнения: Возведем обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня.

$(\sqrt{5})^2 = (\frac{p}{q})^2$
$5 = \frac{p^2}{q^2}$

Теперь умножим обе части на $q^2$:
$p^2 = 5q^2$

3. Анализ делимости:

• Из уравнения $p^2 = 5q^2$ следует, что $p^2$ делится на 5. Поскольку 5 — это простое число, то если квадрат целого числа ($p^2$) делится на 5, то и само это число ($p$) должно делиться на 5.
• Если $p$ делится на 5, его можно представить в виде $p = 5k$, где $k$ — некоторое целое число.
• Подставим $p = 5k$ в уравнение $p^2 = 5q^2$:
  $(5k)^2 = 5q^2$
  $25k^2 = 5q^2$
• Разделим обе части полученного равенства на 5:
  $5k^2 = q^2$
• Это новое равенство показывает, что $q^2$ также делится на 5. Следовательно, и само число $q$ должно делиться на 5.

4. Выявление противоречия: Мы пришли к выводу, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ делятся на 5. Это означает, что у них есть общий делитель 5. Однако это напрямую противоречит нашему исходному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (то есть, что НОД$(p, q) = 1$).

5. Заключение: Так как наше первоначальное предположение привело к противоречию, оно неверно. Следовательно, число $\sqrt{5}$ не может быть представлено в виде рациональной дроби, а значит, оно является иррациональным.

Что и требовалось доказать.