Номер 2.151, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.151. Выберите квадратные трехчлены, имеющие корни, и найдите корни этих квадратных трехчленов:

а) $3x^2 - 10x + 3;$

б) $x^2 - 8x + 12;$

в) $-x^2 + 3x - 8.$

Для того чтобы определить, имеет ли квадратный трехчлен корни, и найти их, воспользуемся формулой дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и формулой корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

а) $3x^2 - 10x + 3$
Вычислим дискриминант для этого трехчлена, где $a=3$, $b=-10$, $c=3$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
Так как $D > 0$, трехчлен имеет два действительных корня.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.
$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: 3 и $\frac{1}{3}$.

б) $x^2 - 8x + 12$
Вычислим дискриминант, где $a=1$, $b=-8$, $c=12$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.
Так как $D > 0$, трехчлен имеет два действительных корня.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: 6 и 2.

в) $-x^2 + 3x - 8$
Вычислим дискриминант, где $a=-1$, $b=3$, $c=-8$:
$D = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8) = 9 - 32 = -23$.
Так как $D < 0$, трехчлен не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.