Номер 2.30, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.30. Найдите корни уравнения

$ (5x + 2)(x - 2) - (1 + x)(x - 1) + 3 = 4x. $

Для решения данного уравнения необходимо выполнить следующие шаги: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все члены уравнения в одну сторону и решить полученное квадратное уравнение.

Исходное уравнение:

$(5x + 2)(x - 2) - (1 + x)(x - 1) + 3 = 4x$

1. Раскрытие скобок.

Раскроем первую пару скобок, перемножив многочлены:

$(5x + 2)(x - 2) = 5x \cdot x - 5x \cdot 2 + 2 \cdot x - 2 \cdot 2 = 5x^2 - 10x + 2x - 4 = 5x^2 - 8x - 4$

Раскроем вторую пару скобок. Выражение $(1 + x)(x - 1)$ можно представить как $(x + 1)(x - 1)$ и использовать формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

2. Упрощение уравнения.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(5x^2 - 8x - 4) - (x^2 - 1) + 3 = 4x$

Теперь раскроем оставшиеся скобки (учитывая знак "минус" перед ними) и приведем подобные слагаемые:

$5x^2 - 8x - 4 - x^2 + 1 + 3 = 4x$

Сгруппируем члены с $x^2$, с $x$ и свободные члены:

$(5x^2 - x^2) - 8x + (-4 + 1 + 3) = 4x$

$4x^2 - 8x + 0 = 4x$

$4x^2 - 8x = 4x$

3. Решение квадратного уравнения.

Перенесем член $4x$ из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы получить уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$4x^2 - 8x - 4x = 0$

$4x^2 - 12x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся за скобки общий множитель $4x$:

$4x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два возможных случая:

1) $4x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и 3.

Корни уравнения: Ответ: 0 и 3.