Номер 2.56, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.56. Найдите значение переменной, при котором сумма квадратов двучленов $x + 2$ и $x - 3$ равна 17.

Согласно условию задачи, сумма квадратов двучленов $x+2$ и $x-3$ должна быть равна 17. Составим на основе этого математическое уравнение:

$(x+2)^2 + (x-3)^2 = 17$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки, применив формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) + (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) = 17$

Выполним вычисления в скобках:

$(x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) = 17$

Теперь сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$2x^2 - 2x + 13 = 17$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2+bx+c=0$:

$2x^2 - 2x + 13 - 17 = 0$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Можно заметить, что все коэффициенты уравнения ($2$, $-2$, $-4$) делятся на 2. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение с помощью вычисления дискриминанта.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-1, c=-2$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Поскольку $D > 0$ ($D=9$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, мы нашли два значения переменной, удовлетворяющие условию задачи: 2 и -1.

Выполним проверку найденных корней:

• При $x=2$: $(2+2)^2 + (2-3)^2 = 4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$.
• При $x=-1$: $(-1+2)^2 + (-1-3)^2 = 1^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$.

Оба значения верны.

Ответ: -1 и 2.