Номер 2.60, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.60. Подберите какие-нибудь три значения $c$, при которых уравнение имеет корни, и три значения $c$, при которых уравнение не имеет корней:

a) $x^2 + 7x + c = 0$;

б) $2x^2 - x - c = 0$.

Чтобы определить, при каких значениях параметра $c$ квадратное уравнение имеет корни, а при каких — нет, необходимо проанализировать знак его дискриминанта $D$. Для общего вида уравнения $ax^2 + bx + k = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ak$.

• Если $D \ge 0$, уравнение имеет действительные корни (один или два).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

В данном уравнении коэффициенты $a=1$, $b=7$, а свободный член равен $c$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 49 - 4c$.

Уравнение имеет корни, если $D \ge 0$. Решим неравенство:

Выделим целую часть из неправильной дроби: $c \le \mathbf{12}\frac{1}{4}$.

Таким образом, чтобы уравнение имело корни, можно выбрать любые три значения $c$, не превышающие $12\frac{1}{4}$. Например: $c=12$, $c=0$, $c=-10$.

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$. Решим неравенство:

То есть, $c > \mathbf{12}\frac{1}{4}$.

Таким образом, чтобы уравнение не имело корней, можно выбрать любые три значения $c$, которые больше $12\frac{1}{4}$. Например: $c=13$, $c=20$, $c=50$.

Ответ: три значения $c$, при которых уравнение имеет корни: $12, 0, -10$; три значения $c$, при которых уравнение не имеет корней: $13, 20, 50$.

В данном уравнении коэффициенты $a=2$, $b=-1$, а свободный член равен $-c$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4a(\text{свободный член}) = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-c) = 1 + 8c$.

Уравнение имеет корни, если $D \ge 0$. Решим неравенство:

Дробь $-\frac{1}{8}$ является правильной, ее целая часть равна $0$.

Таким образом, чтобы уравнение имело корни, можно выбрать любые три значения $c$, которые больше или равны $-\frac{1}{8}$. Например: $c=0$, $c=1$, $c=15$.

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$. Решим неравенство:

Таким образом, чтобы уравнение не имело корней, можно выбрать любые три значения $c$, которые меньше $-\frac{1}{8}$. Например: $c=-1$, $c=-2$, $c=-10$.

Ответ: три значения $c$, при которых уравнение имеет корни: $0, 1, 15$; три значения $c$, при которых уравнение не имеет корней: $-1, -2, -10$.