Номер 2.69, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.69. Решите уравнение:

a) $5x^2 + 2x = 3;$

б) $5 + 4x = x^2;$

в) $4x^2 + 11x = 4x + 2;$

г) $11x^2 + 9x = 2x^2 + 4.$

а) $5x^2 + 2x = 3$

Для решения приведем квадратное уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 + 2x - 3 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=5, b=2, c=-3$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 - (-60) = 4 + 60 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

Ответ: $-1$; $\frac{3}{5}$.

б) $5 + 4x = x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-4, c=-5$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 - (-20) = 16 + 20 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1$; $5$.

в) $4x^2 + 11x = 4x + 2$

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

$4x^2 + 11x - 4x - 2 = 0$

$4x^2 + 7x - 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=4, b=7, c=-2$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 - (-32) = 49 + 32 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 + 9}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 - 9}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

Ответ: $-2$; $\frac{1}{4}$.

г) $11x^2 + 9x = 2x^2 + 4$

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

$11x^2 - 2x^2 + 9x - 4 = 0$

$9x^2 + 9x - 4 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=9, b=9, c=-4$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 81 - (-144) = 81 + 144 = 225$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 9} = \frac{-9 + 15}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 9} = \frac{-9 - 15}{18} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}$

Преобразуем неправильную дробь $-\frac{4}{3}$ в смешанное число, выделив целую часть:

$-\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$

Ответ: $-1\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}$.