Номер 2.72, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.72. Решите уравнение:

а) $x(7-x)=10;$

б) $x(x-8)=x-20;$

в) $(x-2)(x+5)=-6;$

г) $(3x+1)(x+1)=2(x-5)(x-2).$

Для решения данных уравнений необходимо привести их к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и затем найти корни.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$7x - x^2 = 10$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$0 = x^2 - 7x + 10$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно 10, а их сумма равна 7. Подбираем корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.

Или можно использовать формулу для нахождения корней через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: 2; 5.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 - 8x = x - 20$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x - x + 20 = 0$

$x^2 - 9x + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно 20, а их сумма равна 9. Подбираем корни: $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.

Или через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ: 4; 5.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + 5x - 2x - 10 = -6$

$x^2 + 3x - 10 = -6$

Перенесем -6 в левую часть:

$x^2 + 3x - 10 + 6 = 0$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно -4, а их сумма равна -3. Подбираем корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.

Или через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: -4; 1.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: $(3x + 1)(x + 1) = 3x^2 + 3x + x + 1 = 3x^2 + 4x + 1$

Правая часть: $2(x - 5)(x - 2) = 2(x^2 - 2x - 5x + 10) = 2(x^2 - 7x + 10) = 2x^2 - 14x + 20$

Приравняем левую и правую части:

$3x^2 + 4x + 1 = 2x^2 - 14x + 20$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2) + (4x + 14x) + (1 - 20) = 0$

$x^2 + 18x - 19 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно -19, а их сумма равна -18. Подбираем корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -19$.

Или через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 324 + 76 = 400$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{-18 \pm 20}{2}$

$x_1 = \frac{-18 + 20}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-18 - 20}{2} = \frac{-38}{2} = -19$

Ответ: -19; 1.