Номер 3.196, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.196. Выполните действия:

a) $(3\sqrt{2} - 2)(4\sqrt{2} + 7) - 13\sqrt{2};$

б) $(3\sqrt{2} + 2)^2 + (6 - \sqrt{2})^2.$

Чтобы решить данное выражение, сначала раскроем скобки, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:

$(3\sqrt{2} - 2)(4\sqrt{2} + 7) = 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot 7 - 2 \cdot 4\sqrt{2} - 2 \cdot 7$

Выполним умножение в каждом слагаемом:

$3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 3 \cdot 4 \cdot (\sqrt{2})^2 = 12 \cdot 2 = 24$

$3\sqrt{2} \cdot 7 = 21\sqrt{2}$

$-2 \cdot 4\sqrt{2} = -8\sqrt{2}$

$-2 \cdot 7 = -14$

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$24 + 21\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 14 - 13\sqrt{2}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: отдельно целые числа и отдельно слагаемые с $\sqrt{2}$:

$(24 - 14) + (21\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 13\sqrt{2})$

$10 + (21 - 8 - 13)\sqrt{2}$

$10 + (0)\sqrt{2}$

$10 + 0 = 10$

Ответ: 10

Для решения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Раскроем первую скобку, $(3\sqrt{2} + 2)^2$, где $a=3\sqrt{2}$ и $b=2$:

$(3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2 + 2^2 = (9 \cdot 2) + 12\sqrt{2} + 4 = 18 + 12\sqrt{2} + 4 = 22 + 12\sqrt{2}$

Раскроем вторую скобку, $(6 - \sqrt{2})^2$, где $a=6$ и $b=\sqrt{2}$:

$6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 36 - 12\sqrt{2} + 2 = 38 - 12\sqrt{2}$

Теперь сложим полученные результаты:

$(22 + 12\sqrt{2}) + (38 - 12\sqrt{2})$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(22 + 38) + (12\sqrt{2} - 12\sqrt{2})$

$60 + 0 = 60$

Ответ: 60