Номер 19, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

19. Выберите квадратное уравнение, корнями которого являются числа -1 и $ \frac{1}{7} $:

а) $ 7x^2 + 6x + 1 = 0; $

б) $ -\frac{1}{7}x^2 + \frac{6}{7}x - 1 = 0; $

в) $ x^2 - \frac{1}{7}x + 6 = 0; $

г) $ x^2 + \frac{1}{7}x - 6 = 0; $

д) $ 7x^2 + 6x - 1 = 0; $

е) $ x^2 - 7x - 1 = 0. $

Для решения данной задачи можно использовать два способа: проверку каждого уравнения путем подстановки корней или использование теоремы Виета.

Способ 1: Использование теоремы Виета

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В условии задачи даны корни $x_1 = -1$ и $x_2 = \frac{1}{7}$.

Вычислим их сумму и произведение:

Сумма: $x_1 + x_2 = -1 + \frac{1}{7} = -\frac{7}{7} + \frac{1}{7} = -\frac{6}{7}$

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = -1 \cdot \frac{1}{7} = -\frac{1}{7}$

Теперь проверим, какое из предложенных уравнений удовлетворяет этим условиям.

а) $7x^2 + 6x + 1 = 0$
Здесь $a=7, b=6, c=1$.
Сумма корней: $-\frac{b}{a} = -\frac{6}{7}$. (Совпадает)
Произведение корней: $\frac{c}{a} = \frac{1}{7}$. (Не совпадает, так как должно быть $-\frac{1}{7}$)
Ответ: Неверно.

б) $-\frac{1}{7}x^2 + \frac{6}{7}x - 1 = 0$
Здесь $a=-\frac{1}{7}, b=\frac{6}{7}, c=-1$.
Сумма корней: $-\frac{b}{a} = -\frac{6/7}{-1/7} = 6$. (Не совпадает)
Произведение корней: $\frac{c}{a} = \frac{-1}{-1/7} = 7$. (Не совпадает)
Ответ: Неверно.

в) $x^2 - \frac{1}{7}x + 6 = 0$
Здесь $a=1, b=-\frac{1}{7}, c=6$.
Сумма корней: $-\frac{b}{a} = -(-\frac{1}{7}) = \frac{1}{7}$. (Не совпадает)
Произведение корней: $\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$. (Не совпадает)
Ответ: Неверно.

г) $x^2 + \frac{1}{7}x - 6 = 0$
Здесь $a=1, b=\frac{1}{7}, c=-6$.
Сумма корней: $-\frac{b}{a} = -\frac{1}{7}$. (Не совпадает)
Произведение корней: $\frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = -6$. (Не совпадает)
Ответ: Неверно.

д) $7x^2 + 6x - 1 = 0$
Здесь $a=7, b=6, c=-1$.
Сумма корней: $-\frac{b}{a} = -\frac{6}{7}$. (Совпадает)
Произведение корней: $\frac{c}{a} = \frac{-1}{7} = -\frac{1}{7}$. (Совпадает)
Ответ: Верно.

е) $x^2 - 7x - 1 = 0$
Здесь $a=1, b=-7, c=-1$.
Сумма корней: $-\frac{b}{a} = -(-7) = 7$. (Не совпадает)
Произведение корней: $\frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$. (Не совпадает)
Ответ: Неверно.

Способ 2: Составление уравнения по корням

Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения, то его можно составить по формуле $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.

Подставим заданные корни $x_1 = -1$ и $x_2 = \frac{1}{7}$:

$(x - (-1))(x - \frac{1}{7}) = 0$

$(x + 1)(x - \frac{1}{7}) = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 - \frac{1}{7}x + x - \frac{1}{7} = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (\frac{7}{7} - \frac{1}{7})x - \frac{1}{7} = 0$

$x^2 + \frac{6}{7}x - \frac{1}{7} = 0$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим все члены уравнения на 7:

$7 \cdot (x^2 + \frac{6}{7}x - \frac{1}{7}) = 7 \cdot 0$

$7x^2 + 6x - 1 = 0$

Полученное уравнение полностью совпадает с вариантом д).