Номер 1056, страница 195 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R = 4,0$ Ом

$U_1 = 6,0$ В

$U_2 = 8,0$ В

Найти:

$\mathcal{E}$ - ?

$r$ - ?

Решение:

Запишем закон Ома для полной цепи для двух случаев. Напряжение на клеммах источника $U$ (показания вольтметра) связано с ЭДС источника $\mathcal{E}$ и его внутренним сопротивлением $r$ через силу тока $I$ в цепи:

$U = \mathcal{E} - I \cdot r$

Сила тока $I$ во внешней цепи с сопротивлением $R_{внеш}$ определяется по закону Ома для участка цепи:

$I = \frac{U}{R_{внеш}}$

Подставив второе выражение в первое, получим зависимость ЭДС от напряжения и сопротивлений:

$\mathcal{E} = U + \frac{U}{R_{внеш}} \cdot r$

Рассмотрим два случая, описанные в задаче.

1. Первый случай: два резистора соединены параллельно.

Общее внешнее сопротивление $R_{внеш1}$ для двух одинаковых резисторов сопротивлением $R$ каждый, соединенных параллельно, равно:

$R_{внеш1} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2}$

Напряжение на клеммах источника в этом случае равно $U_1$. Запишем уравнение для ЭДС:

$\mathcal{E} = U_1 + \frac{U_1}{R_{внеш1}} \cdot r = U_1 + \frac{U_1}{R/2} \cdot r = U_1 + \frac{2U_1}{R} \cdot r$ (1)

2. Второй случай: один из резисторов отключен.

Теперь внешнее сопротивление цепи $R_{внеш2}$ равно сопротивлению одного резистора:

$R_{внеш2} = R$

Напряжение на клеммах источника равно $U_2$. Уравнение для ЭДС в этом случае:

$\mathcal{E} = U_2 + \frac{U_2}{R_{внеш2}} \cdot r = U_2 + \frac{U_2}{R} \cdot r$ (2)

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $\mathcal{E}$ и $r$. Поскольку ЭДС и внутреннее сопротивление источника являются его постоянными характеристиками, мы можем приравнять правые части уравнений (1) и (2):

$U_1 + \frac{2U_1}{R} \cdot r = U_2 + \frac{U_2}{R} \cdot r$

Выразим из этого уравнения внутреннее сопротивление $r$:

$\frac{2U_1}{R} \cdot r - \frac{U_2}{R} \cdot r = U_2 - U_1$

$\frac{r}{R}(2U_1 - U_2) = U_2 - U_1$

$r = R \frac{U_2 - U_1}{2U_1 - U_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$r = 4,0 \cdot \frac{8,0 - 6,0}{2 \cdot 6,0 - 8,0} = 4,0 \cdot \frac{2,0}{12,0 - 8,0} = 4,0 \cdot \frac{2,0}{4,0} = 2,0$ Ом.

Теперь, зная $r$, найдем ЭДС $\mathcal{E}$, подставив значение $r$ в любое из уравнений, например, в уравнение (2):

$\mathcal{E} = U_2 + \frac{U_2}{R} \cdot r = 8,0 + \frac{8,0}{4,0} \cdot 2,0 = 8,0 + 2,0 \cdot 2,0 = 8,0 + 4,0 = 12,0$ В.

Ответ: ЭДС источника тока $\mathcal{E} = 12,0$ В, его внутреннее сопротивление $r = 2,0$ Ом.