Номер 1209, страница 224 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Форма рамки - равносторонний треугольник

Начальная индукция магнитного поля: $B_1 = 60 \text{ мТл}$

Конечная индукция магнитного поля: $B_2 = 0 \text{ Тл}$

Угол между вектором индукции и перпендикуляром к плоскости рамки: $\alpha = 30^\circ$

Промежуток времени: $\Delta t = 30 \text{ мс}$

ЭДС индукции: $\mathcal{E}_{\text{инд}} = 30 \text{ мВ}$

Перевод в систему СИ:

$B_1 = 60 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0.06 \text{ Тл}$

$\Delta t = 30 \cdot 10^{-3} \text{ с} = 0.03 \text{ с}$

$\mathcal{E}_{\text{инд}} = 30 \cdot 10^{-3} \text{ В} = 0.03 \text{ В}$

Найти:

Длину стороны рамки $a$.

Решение

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, равна по модулю скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром:

$\mathcal{E}_{\text{инд}} = \left|-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\right|$

Магнитный поток $\Phi$ через рамку определяется формулой:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $B$ - модуль индукции магнитного поля, $S$ - площадь рамки, $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции и нормалью (перпендикуляром) к плоскости рамки.

В данном случае площадь рамки $S$ и угол $\alpha$ не изменяются, а изменяется только модуль индукции магнитного поля от $B_1$ до $B_2=0$.

Изменение магнитного потока $\Delta \Phi$ равно:

$\Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = B_2 \cdot S \cdot \cos(\alpha) - B_1 \cdot S \cdot \cos(\alpha) = (B_2 - B_1) \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

Так как $B_2 = 0$, то $\Delta \Phi = -B_1 \cdot S \cdot \cos(\alpha)$.

Подставим это выражение в закон Фарадея:

$\mathcal{E}_{\text{инд}} = \left|-\frac{-B_1 \cdot S \cdot \cos(\alpha)}{\Delta t}\right| = \frac{B_1 \cdot S \cdot \cos(\alpha)}{\Delta t}$

Рамка имеет форму равностороннего треугольника со стороной $a$. Площадь такого треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим выражение для площади в формулу для ЭДС:

$\mathcal{E}_{\text{инд}} = \frac{B_1 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \cos(\alpha)}{\Delta t}$

Выразим из этой формулы сторону треугольника $a$:

$a^2 = \frac{4 \cdot \mathcal{E}_{\text{инд}} \cdot \Delta t}{B_1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\alpha)}$

$a = \sqrt{\frac{4 \cdot \mathcal{E}_{\text{инд}} \cdot \Delta t}{B_1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\alpha)}}$

Подставим числовые значения в систему СИ. Зная, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$a = \sqrt{\frac{4 \cdot (30 \cdot 10^{-3} \text{ В}) \cdot (30 \cdot 10^{-3} \text{ с})}{(60 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}) \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 900 \cdot 10^{-6}}{60 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{3600 \cdot 10^{-6}}{90 \cdot 10^{-3}}}$

$a = \sqrt{40 \cdot 10^{-3}} = \sqrt{0.04 \text{ м}^2} = 0.2 \text{ м}$

Ответ: $a = 0.2 \text{ м}$ (или $20 \text{ см}$).