Номер 1223, страница 227 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угол наклона конструкции к горизонту: $ \alpha = 30^\circ $
Угол между линиями магнитной индукции и перемычкой: $ 90^\circ $
(Будем считать, что также известны: $m$ - масса перемычки, $l$ - длина перемычки, $R$ - сопротивление контура, $B$ - модуль магнитной индукции, $g$ - ускорение свободного падения)

Найти:

Модуль установившейся скорости $v$.

Решение:

Перемычка движется с установившейся скоростью $v$, это означает, что ее ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, это возможно, когда сумма всех сил, действующих на перемычку, равна нулю. Рассмотрим силы, действующие на перемычку в направлении ее движения вдоль наклонной плоскости.

1. Сила тяжести $F_g = mg$. Ее проекция на наклонную плоскость, направленная вниз, равна $F_{g \parallel} = mg \sin(\alpha)$. Эта сила заставляет перемычку скользить вниз.

2. При движении перемычки в магнитном поле в ней возникает ЭДС индукции. Поскольку вектор скорости $ \vec{v} $ перпендикулярен перемычке, а вектор магнитной индукции $ \vec{B} $ перпендикулярен и перемычке, и вектору скорости (согласно рисунку), то модуль ЭДС индукции равен:

$ \mathcal{E} = B l v $

где $l$ - длина перемычки.

3. Эта ЭДС создает в замкнутом контуре (перемычка и П-образная конструкция) индукционный ток $I$. По закону Ома для полной цепи:

$ I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B l v}{R} $

где $R$ - полное сопротивление контура.

4. На проводник с током $I$ в магнитном поле $B$ действует сила Ампера $F_A$. Так как поле перпендикулярно проводнику, ее модуль равен:

$ F_A = I B l = \left(\frac{B l v}{R}\right) B l = \frac{B^2 l^2 v}{R} $

По правилу Ленца (или по правилу левой руки), эта сила направлена против движения, то есть вверх вдоль наклонной плоскости, препятствуя скольжению перемычки.

5. Условие установившегося движения (равномерного движения) заключается в равенстве сил, действующих вдоль наклонной плоскости:

$ F_{g \parallel} = F_A $

$ mg \sin(\alpha) = \frac{B^2 l^2 v}{R} $

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v$:

$ v = \frac{mgR \sin(\alpha)}{B^2 l^2} $

Подставим известное значение угла $ \alpha = 30^\circ $, для которого $ \sin(30^\circ) = 0.5 = 1/2 $:

$ v = \frac{mgR \sin(30^\circ)}{B^2 l^2} = \frac{mgR \cdot \frac{1}{2}}{B^2 l^2} = \frac{mgR}{2B^2 l^2} $

Ответ: $v = \frac{mgR}{2B^2 l^2}$.