Номер 1218, страница 226 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Диаметр кольца, $d = 10$ см
Сопротивление кольца, $R = 1,0$ Ом
Начальная индукция магнитного поля, $B_0 = 0$ Тл
Максимальная индукция магнитного поля, $B_1 = 10$ мТл
Время нарастания поля, $\Delta t_1 = 10$ мс
Время убывания поля, $\Delta t_2 = 1,0$ мс

Переведем значения в систему СИ:
$d = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$
$R = 1,0 \text{ Ом}$
$B_1 = 10 \text{ мТл} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0,01 \text{ Тл}$
$\Delta t_1 = 10 \text{ мс} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ с} = 0,01 \text{ с}$
$\Delta t_2 = 1,0 \text{ мс} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ с} = 0,001 \text{ с}$

Найти:
Количество теплоты, $Q - ?$

Решение:
Общее количество теплоты $Q$, выделившееся в кольце, равно сумме теплоты, выделившейся на этапе нарастания магнитного поля ($Q_1$), и теплоты, выделившейся на этапе его убывания ($Q_2$):
$Q = Q_1 + Q_2$

Количество теплоты, выделяющееся в проводнике, определяется законом Джоуля-Ленца. Для постоянного тока за время $\Delta t$ оно равно $Q = I^2 R \Delta t$. Так как ЭДС индукции постоянна на каждом этапе (поле меняется линейно), то и индукционный ток постоянен. Мощность тока $P = \frac{E_i^2}{R}$, тогда количество теплоты $Q = P \Delta t = \frac{E_i^2}{R} \Delta t$.

ЭДС индукции $E_i$ определяется законом Фарадея: $E_i = \left| -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|$, где $\Delta \Phi$ - изменение магнитного потока за время $\Delta t$.
Магнитный поток $\Phi$ через кольцо равен $\Phi = B \cdot S \cdot \cos{\alpha}$. Поскольку поле перпендикулярно плоскости кольца, угол $\alpha$ между вектором магнитной индукции $B$ и нормалью к плоскости кольца равен $0$, и $\cos{0} = 1$. Таким образом, $\Phi = B \cdot S$.

Площадь кольца $S$ постоянна и равна: $S = \frac{\pi d^2}{4}$.
$S = \frac{\pi (0,1 \text{ м})^2}{4} = \frac{0,01\pi}{4} \approx 0,00785 \text{ м}^2$.

Так как площадь $S$ не меняется, изменение потока происходит за счет изменения магнитной индукции $B$: $\Delta \Phi = \Delta B \cdot S$.
Тогда ЭДС индукции: $E_i = S \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right|$.

Рассмотрим первый этап (нарастание поля):
Изменение индукции: $\Delta B_1 = B_1 - 0 = 0,01 \text{ Тл}$.
ЭДС индукции: $E_{i1} = S \frac{\Delta B_1}{\Delta t_1}$.
Количество теплоты: $Q_1 = \frac{E_{i1}^2}{R} \Delta t_1 = \frac{(S \frac{\Delta B_1}{\Delta t_1})^2}{R} \Delta t_1 = \frac{S^2 (\Delta B_1)^2}{R \Delta t_1}$.

Рассмотрим второй этап (убывание поля):
Изменение индукции: $\Delta B_2 = 0 - B_1 = -0,01 \text{ Тл}$. Модуль изменения $| \Delta B_2 | = 0,01 \text{ Тл}$.
ЭДС индукции: $E_{i2} = S \frac{|\Delta B_2|}{\Delta t_2} = S \frac{B_1}{\Delta t_2}$.
Количество теплоты: $Q_2 = \frac{E_{i2}^2}{R} \Delta t_2 = \frac{(S \frac{B_1}{\Delta t_2})^2}{R} \Delta t_2 = \frac{S^2 B_1^2}{R \Delta t_2}$.

Теперь найдем общее количество теплоты:
$Q = Q_1 + Q_2 = \frac{S^2 B_1^2}{R \Delta t_1} + \frac{S^2 B_1^2}{R \Delta t_2} = \frac{S^2 B_1^2}{R} \left( \frac{1}{\Delta t_1} + \frac{1}{\Delta t_2} \right)$.

Подставим числовые значения:
$Q = \frac{(0,00785 \text{ м}^2)^2 \cdot (0,01 \text{ Тл})^2}{1,0 \text{ Ом}} \left( \frac{1}{0,01 \text{ с}} + \frac{1}{0,001 \text{ с}} \right)$
$Q \approx \frac{6,16 \cdot 10^{-5} \text{ м}^4 \cdot 10^{-4} \text{ Тл}^2}{1,0 \text{ Ом}} (100 \text{ с}^{-1} + 1000 \text{ с}^{-1})$
$Q \approx 6,16 \cdot 10^{-9} \frac{\text{Вб}^2}{\text{Ом} \cdot \text{м}^4} \cdot \text{м}^4 \cdot (1100 \text{ с}^{-1})$
$Q \approx 6,16 \cdot 10^{-9} \cdot 1100 \text{ Дж} \approx 6776 \cdot 10^{-9} \text{ Дж} \approx 6,8 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$.
$6,8 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 6,8 \text{ мкДж}$.

Ответ: $Q \approx 6,8 \text{ мкДж}$.