Номер 1250, страница 235 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 30 \text{ мм}$
Период колебаний, $T = 2,0 \text{ с}$
Начальная фаза, $\varphi_0 = \frac{\pi}{4}$
Моменты времени, $t_0 = 0,0 \text{ с}$, $t_1 = 0,60 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:
$A = 30 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,03 \text{ м}$

Найти:

1. Уравнение колебаний $x(t)$
2. Смещение $x_0$ при $t_0$
3. Смещение $x_1$ при $t_1$

Решение:

Уравнение колебаний $x(t)$
Уравнение гармонических (синусоидальных) колебаний имеет вид: $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)$.
Для составления уравнения необходимо найти циклическую частоту $\omega$. Она связана с периодом $T$ соотношением: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2,0 \text{ с}} = \pi \text{ рад/с}$.
Подставив значения амплитуды $A = 0,03 \text{ м}$, циклической частоты $\omega = \pi \text{ рад/с}$ и начальной фазы $\varphi_0 = \frac{\pi}{4}$ в общее уравнение, получим уравнение для данных колебаний: $x(t) = 0,03 \sin(\pi t + \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $x(t) = 0,03 \sin(\pi t + \frac{\pi}{4})$ (в СИ).

Смещение $x_0$ при $t_0 = 0,0 \text{ с}$
Подставим значение времени $t_0 = 0,0 \text{ с}$ в полученное уравнение колебаний: $x_0 = x(0,0) = 0,03 \sin(\pi \cdot 0,0 + \frac{\pi}{4}) = 0,03 \sin(\frac{\pi}{4})$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$, то смещение равно: $x_0 = 0,03 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,02121 \text{ м}$.
С учетом значащих цифр исходных данных (две), округляем результат. $x_0 \approx 0,021 \text{ м}$.
Ответ: $x_0 \approx 0,021 \text{ м}$.

Смещение $x_1$ при $t_1 = 0,60 \text{ с}$
Подставим значение времени $t_1 = 0,60 \text{ с}$ в уравнение колебаний: $x_1 = x(0,60) = 0,03 \sin(\pi \cdot 0,60 + \frac{\pi}{4}) = 0,03 \sin(0,60\pi + 0,25\pi) = 0,03 \sin(0,85\pi)$.
Вычислим значение: $\sin(0,85\pi) \approx 0,454$. $x_1 \approx 0,03 \cdot 0,454 \approx 0,01362 \text{ м}$.
Округляем результат до двух значащих цифр. $x_1 \approx 0,014 \text{ м}$.
Ответ: $x_1 \approx 0,014 \text{ м}$.